Question

設(shè)函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1），其中b≠0．
（Ⅰ）當(dāng)b＞

1

2

時，判斷函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）求函數(shù)f（x）的極值點；
（Ⅲ）證明對任意的正整數(shù)n，不等式ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

都成立．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求函數(shù)的定義域，然后求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)，利用二次函數(shù)的性質(zhì)判定導(dǎo)函數(shù)的符號，從而確定函數(shù)f（x）在定義域上的單調(diào)性；
（Ⅱ）需要分類討論，由（Ⅰ）可知分類標(biāo)準(zhǔn)為b≥

1

2

，0＜b＜

1

2

，b≤0或f'（x）＜0．參數(shù)取某些特定值時，可只管作出判斷，單列為一類；不能作出直觀判斷的，再分為一類，用通法解決，另外要注意由f'（x）=0求得的根不一定就是極值點，需要判斷在該點兩側(cè)的異號性后才能稱為“極值點”．
（Ⅲ）先構(gòu)造函數(shù)h（x）=x³-x²+ln（x+1），然后研究h（x）在[0，+∞）上的單調(diào)性，求出函數(shù)h（x）的最小值，從而得到ln（x+1）＞x²-x³，最后令x=

1

n

，即可證得結(jié)論．

解答：解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=x²+bln（x+1）的定義域在（-1，+∞）
f′(x)=2x+

b

x+1

=

2x2+2x+b

x+1

令g（x）=2x²+2x+b，則g（x）在(-

1

2

，+∞)上遞增，在(-1，-

1

2

)上遞減，g(x)min=g(-

1

2

)=-

1

2

+b，當(dāng)b＞

1

2

時g(x)min=-

1

2

+b＞0
g（x）=2x²+2x+b＞0在（-1，+∞）上恒成立，
所以f'（x）＞0即當(dāng)b＞

1

2

時，函數(shù)f（x）在定義域（-1，+∞）上單調(diào)遞增．
（Ⅱ）（1）由（Ⅰ）知當(dāng)b＞

1

2

時函數(shù)f（x）無極值點
（2）當(dāng)b=

1

2

時，f′(x)=

2(x+ 1 2 )2

x+1

，
∴x∈(-1，-

1

2

)時，f′(x)＞0x∈(-

1

2

，+∞)時，f′(x)＞0，
∴b=

1

2

時，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上無極值點
（3）當(dāng)b＜

1

2

時，解f'（x）=0得兩個不同解x1=

-1- 1-2b

2

，x2=

-1+ 1-2b

2

當(dāng)b＜0時，x1=

-1- 1-2b

2

，x2=

-1+ 1-2b

2

，
∴x₁∈（-∞，-1），x₂∈（-1，+∞），此時f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點x2=

-1+ 1-2b

2

當(dāng)0＜b＜

1

2

時，x₁，x₂∈（-1，+∞）f'（x）在（-1，x₁），（x₂，+∞）都大于0，
f'（x）在（x₁，x₂）上小于0，此時f（x）有一個極大值點x1=

-1- 1-2b

2

和一個極小值點x2=

-1+ 1-2b

2

綜上可知，b＜0，時，f（x）在（-1，+∞）上有唯一的極小值點x2=

-1+ 1-2b

2

0＜b＜

1

2

時，f（x）有一個極大值點x1=

-1- 1-2b

2

和一個極小值點x2=

-1+ 1-2b

2

b≥

1

2

時，函數(shù)f（x）在（-1，+∞）上無極值點．
（Ⅲ）當(dāng)b=-1時，f（x）=x²-ln（x+1）．令h(x)=x3-f(x)=x3-x2+ln(x+1)，則h′(x)=

3x3+(x-1)2

x+1

在[0，+∞)上恒正
∴h（x）在[0，+∞）上單調(diào)遞增，
當(dāng)x∈（0，+∞）時，恒有h（x）＞h（0）=0
即當(dāng)x∈（0，+∞）時，有x³-x²+ln（x+1）＞0，ln（x+1）＞x²-x³，對任意正整數(shù)n，取x=

1

n

得ln(

1

n

+1)＞

1

n2

-

1

n3

點評：本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性，以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式的證明方法，屬于中檔題．