Question

（本題滿分12分）如圖,已知四棱錐中,是邊長為的正三角形,平面平面,四邊形是菱形,,是的中點,是的中點.

（Ⅰ）求證:平面.

（Ⅱ）求二面角的余弦值.

Answer 1

（Ⅰ）見解析；（Ⅱ）.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）利用判定定理證明線面平行時，關鍵是在平面內找一條與已知直線平行的直線，解題時可先直觀判斷平面內是否已有，若沒有，則需作出該直線，�？紤]三角形的中位線、平行四邊形的對邊或過平行線分線段成比例等；要證線線垂直，可通過征到線面垂直得到. （Ⅱ）使用空間向量求解空間角的關鍵是建立空間直角坐標系后，將空間角轉化為向量的運算，然后借助于直線的方向向量和平面的法向量解決立體幾何中的計算問題．二面角的范圍是.

試題解析：證明(1)取的中點,連接.

由題意知且,且

,所以且,即

四邊形是平行四邊形,所以,

又平面,平面

所以平面.

(2)以為坐標原點,為軸,為軸,為軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,,則

,平面的法向量,設是平面的法向量,

由,令,

得

又二面角的平面角是銳角,

所以二面角的平面角的余弦值是

考點：線面平行、二面角