Question

14．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD為平行四邊形，∠ABC=45°，AB=AC=AE=2EF，EA⊥平面ABCD，EF∥AB，F(xiàn)G∥BC，EG∥AC．
（1）若M是線段AD的中點，求證：GM∥平面ABFE；
（2）求二面角A-BF-C的余弦值．

Answer 1

分析 （1）求出△EFG≌△ABC，從而BC=2FG．連接AF，推導出四邊形AFGM為平行四邊形，從而GM∥FA，由此能證明GM∥平面ABFE．
（2）分別以AB，AC，AE所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角A-BF-C的余弦值．

解答 證明：（1）∵EF∥AB，F(xiàn)G∥BC，EG∥AC
∴△EFG≌△ABC，
∵AB=2EF，∴BC=2FG．…（1分）
連接AF，則$FG∥BC，F(xiàn)G=\frac{1}{2}BC$．…（2分）
在平行四邊形ABCD中，M是線段AD的中點，
則$AM∥BC，AM=\frac{1}{2}BC$，
∴FG∥AM，F(xiàn)G=AM，∴四邊形AFGM為平行四邊形．…（3分）
∴GM∥FA，F(xiàn)A?平面ABFE，GM?平面ABFE，
∴GM∥平面ABFE．…（5分）
解：（2）分別以AB，AC，AE所在直線為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標系．…（6分）
不妨設(shè)AB=AC=2，
則由題意得A（0，0，0），B（2，0，0），C（0，2，0），F(xiàn)（1，0，2）
平面ABF的法向量為$\overrightarrow{u}$=（0，1，0）…（7分）
$\overrightarrow{BF}$=（-1，0，2），$\overrightarrow{BC}$=（-2，2，0），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BF}=-x+2z=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{BC}=-2x+2y=0}\end{array}\right.$，取x=2，得$\overrightarrow{n}$=（2，2，1）…（9分）
設(shè)二面角A-BF-C的平面角為θ，
則$cosθ=|{\frac{\overrightarrow n•\overrightarrow u}{|\overrightarrow n||\overrightarrow u|}}|=\frac{2}{3}$．
∴二面角A-BF-C的余弦值為$\frac{2}{3}$．…（10分）

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．