Question

（2013•�？诙�模）設(shè)數(shù)列{}a_n的前n項和為s_n，a₁=1，a_n＞0，4s_n=（a_n+1）²，n∈N⁺．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）求數(shù)列{

an

2n

}的前n項和s_n．

Answer 1

分析：（I）由題意利用a_n=s_n-s_n-1可建立a_n與a_n-1之間的遞推關(guān)系，然后結(jié)合等差數(shù)列的通項公式可求a_n，
（II）由（I ）可求a_n，結(jié)合數(shù)列的項的特點，考慮利用錯位相減求和可求

解答：解：（Ⅰ）當n=1時，a₁=s₁=

(a1+1)2

4

，解a₁=1，與已知相符．
當n≥2時，a_n=s_n-s_n-1=

(an+1)2

4

-

(an-1+1)2

4

整理得：(an-1)2=(an-1+1)2
即（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-2）=0
因為a_n＞0，所以a_n-a_n-1=2
所以數(shù)列{a_n}是以1為首項，2為公差的等差數(shù)列
所以a_n=2n-1
（Ⅱ）由（Ⅰ）得

an

2n

=

2n-1

2n

所以sn=

1

2

+

3

22

+…+

2n-1

2n

1

2

Sn=

1

22

+

3

23

+…+

2n-1

2n+1

兩式相減得：

1

2

Sn=

1

2

+

1

2

+

1

22

+…+

1

2n-1

-

2n-1

2n+1

=

1

2

+

1 2 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

1

2n+1

-

2n-1

2n+1

=

3

2

-

2n+3

2n+1

所以sn=3-

2n+3

2n

點評：本題主要考查了利用數(shù)列的遞推公式求解數(shù)列的通項公式及數(shù)列的錯位相減求和方法的應(yīng)用．