Question

14．若復數z滿足|z-2i|=1（i為虛數單位），則|z|的最小值為1．

Answer 1

分析 設z=x+yi，（x，y∈R），根據|z-2i|=1，可得x²=1-（y-2）²（y∈[1，3]）．代入|z|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，即可得出．

解答 解：設z=x+yi，（x，y∈R），
∵|z-2i|=1，
∴|x+（y-2）i|=1，
∴$\sqrt{{x}^{2}+（y-2）^{2}}$=1，∴x²=1-（y-2）²（y∈[1，3]）．
則|z|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{1-（y-2）^{2}+{y}^{2}}$=$\sqrt{4y-3}$≥$\sqrt{4-3}$=1．當y=1時取等號．
故答案為：1．

點評 本題考查了復數的運算法則、模的計算公式、一次函數的單調性，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．