Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面是直角梯形ABCD，其中AD⊥AB，CD∥AB，AB=4，CD=2，側(cè)面PAD是邊長為2的等邊三角形，且與底面ABCD垂直，E為PA的中點．
（1）求證：DE∥平面PBC；
（2）求三棱錐A-PBC的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）（法一）取PB的中點F，連接EF，CF，由已知得EF∥AB，且EF=

1

2

AB，從而四邊形CDEF是平行四邊形，由此能證明DE∥平面PBC．
（1）（法二）：取AB的中點F，連接DF，EF，由已知得四邊形BCDF為平行四邊形，從而DF∥BC，由此能證明DE∥平面PBC．
（2）取AD的中點O，連接PO，由已知得PO⊥平面ABCD，由此能求出三棱錐A-PBC的體積．

解答： （1）證明：（方法一）：取PB的中點F，連接EF，CF．
∵點E，F(xiàn)分別是PA，PB的中點
∴EF∥AB，且EF=

1

2

AB
又CD∥AB，且CD=

1

2

AB=2
∴EF∥CD，且EF=CD
∴四邊形CDEF是平行四邊形，∴DE∥CF．
又DE?平面PBC，CF?平面PBC
∴DE∥平面PBC．
（1）證明：（方法二）：取AB的中點F，連接DF，EF．
在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，CD=2，
所以BF∥CD，且BF=CD．
所以四邊形BCDF為平行四邊形，所以DF∥BC．
在△PAB中，PE=EA，AF=FB，所以EF∥PB．
又DF∩EF=F，PB∩BC=B，
所以平面DEF∥平面PBC．
因為DE?平面DEF，所以DE∥平面PBC．

（2）解：取AD的中點O，連接PO．
在△PAD中，PA=PD=AD=2，所以PO⊥AD，PO=

3

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以PO⊥平面ABCD，所以PO就是三棱錐P-ABC的高．
在直角梯形ABCD中，CD∥AB，且AB=4，AD=2，AB⊥AD，
所以S△ABC=S△ABD=

1

2

×AB×AD=

1

2

×4×2=4．
故VA-PBC=VP-ABC=

1

3

×S△ABC×PO=

1

3

×4×

3

=

4 3

3

．

點評：本題考查直線與平面平行的證明，考查三棱錐的體積的求法，解題時要注意空間思維能力的培養(yǎng)．