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(2007•楊浦區(qū)二模)在正四棱錐P-ABCD中(如圖),若異面直線PA與BC所成角的正切值為2,底面邊長AB=4.
(1)求側棱與底面ABCD所成角的大小.
(2)求四棱錐P-ABCD的體積.
分析:(1)要求側棱與底面ABCD所成角的大小,關鍵是找出側棱在底面ABCD上的射影.過P作斜高,則∠PAD為異面直線PA與BC所成的角,進而可求側棱與底面ABCD所成角的大小
(2)求四棱錐P-ABCD的體積,關鍵是求出底面積與高,進而利用公式求解.
解答:解:(1)過P作斜高PE,PO⊥底面ABCD,AD∥BC∴∠PAD為異面直線PA與BC所成的角θ且tanθ=2(3分)
在Rt△PEA中tanθ=2=
PE
AE
且AE=2所以PE=4,PA=2
5
(5分)
正四棱錐P-ABCD的高為PO=2
3
在Rt△POA中,∴sin∠PAO=
15
5
∠PAO=arcsin
15
5
,
側棱與底面ABCD所成角的大小為arcsin
15
5
( 或寫成arccos
10
5
)      (7分)
(2)VP--ABCD=
1
3
42•2
3
=
32
3
3
(14分)
點評:本題的考點是直線與平面所成的角,主要考查側棱與底面ABCD所成角的大小,關鍵是找出側棱在底面ABCD上的射影,考查幾何體的體積,屬于中檔題.
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