Question

（2013•泉州模擬）在數(shù)列{a_n}和等比數(shù)列{b_n}中，a₁=0，a₃=2，bn=2an+1(n∈N*)．
（Ⅰ）求數(shù)列{b_n}及{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）若c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）先求出公比，可得數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)，從而可求{a_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用錯位相減法，可求數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n．

解答：解：（Ⅰ）依題意b₁=2，b3=23=8，…（2分）
設(shè)數(shù)列{b_n}的公比為q，由bn=2an+1＞0，可知q＞0，…（3分）
由b3=b1•q2=2•q2=8，得q²=4，又q＞0，則q=2，…（4分）
故bn=b1qn-1=2•2n-1=2n，…（5分）
又由2an+1=2n，得a_n=n-1．…（6分）
（Ⅱ）依題意cn=(n-1)•2n．…（7分）Sn=0•21+1•22+2•23+…+(n-2)•2n-1+(n-1)•2n，①
則2Sn=0•22+1•23+2•24+…+(n-2)•2n+(n-1)•2n+1②…（9分）
①-②得-Sn=22+23+…+2n-(n-1)•2n+1=

22-2n+1

1-2

-(n-1)•2n+1，…（11分）
即-Sn=-4+(2-n)•2n+1，故Sn=4+(n-2)•2n+1．…（12分）

點(diǎn)評：本小題主要考查等比數(shù)列、數(shù)列通項(xiàng)公式、數(shù)列求和等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，考查函數(shù)與方程思想等．