Question

5．已知函數(shù)f（x）=x²+ax-lnx，a∈R
（1）若函數(shù)g（x）=$\frac{{x}^{2}}{2}$+ax-f（x），求g（x）在區(qū)間[$\frac{1}{e}$，e]上的最大值；
（2）令g（x）=f（x）-x²，是否存在實數(shù)a，當x∈（0，e]（e是自然常數(shù)）時，函數(shù)g（x）的最小值是3，若存在，求出a的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）令g′（x）=0得出g（x）的極值點，判斷g（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上的單調(diào)性，根據(jù)單調(diào)性得出最大值；
（2）對a進行討論，判斷g（x）在（0，e]上的單調(diào)性，求出最小值，令最小值為3解出a．

解答 解：（1）g（x）=-$\frac{{x}^{2}}{2}$+lnx，
g′（x）=-x+$\frac{1}{x}$=$\frac{1-{x}^{2}}{x}$．
∴當$\frac{1}{e}$≤x＜1時，g′（x）＞0，當1＜x≤e時，g′（x）＜0．
∴g（x）在[$\frac{1}{e}$，1]上單調(diào)遞增，在（1，e]上單調(diào)遞減，
∴當x=1時，g（x）在[$\frac{1}{e}$，e]上取得最大值g（1）=-$\frac{1}{2}$．
（2）g（x）=ax-lnx，g′（x）=a-$\frac{1}{x}$．
當a≤0時，g′（x）＜0，g（x）在（0，e]上是減函數(shù)，
∴g_min（x）=g（e）=ae-1=3，解得a=$\frac{4}{e}$（舍）．
當a＞0時，令g′（x）=0得x=$\frac{1}{a}$．
∴當0＜x＜$\frac{1}{a}$時，g′（x）＜0，當x＞$\frac{1}{a}$時，g′（x）＞0．
當0＜$\frac{1}{a}$＜e即a＞$\frac{1}{e}$時，g（x）在（0，$\frac{1}{a}$]上單調(diào)遞減，在（$\frac{1}{a}$，e]上單調(diào)遞增，
∴g_min（x）=g（$\frac{1}{a}$）=1-ln$\frac{1}{a}$=3，解得a=e²．
當$\frac{1}{a}$≥e即0＜a≤$\frac{1}{e}$時，g（x）在（0，e]上是減函數(shù)，
∴g_min（x）=g（e）=ae-1=3，解得a=$\frac{4}{e}$（舍）．
綜上，a=e²．

點評 本題考查了導數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性的關系，函數(shù)最值的計算，屬于中檔題．