Question

已知函數(shù)f(x)＝2n在[0，＋∞)上最小值是a_n(n∈N*)．

(1)求數(shù)列{a_n}的通項公式；

(2)已知數(shù)列{b_n}中，對任意n∈N*都有b_na＝1成立，設(shè)S_n為數(shù)列{b_n}的前n項和，證明：2S_n＜1；

(3)在點列A_n(2n，a_n)中是否存在兩點A_i，A_j(i，j∈N*)，使直線A_iA_j的斜率為1？若存在，求出所有的數(shù)對(i，j)；若不存在，請說明理由．

Answer 1

答案：
解析：

解：(1)由f(x)＝2n得(x)＝，f(0)＝2n． 　　令(x)＝0得x＝， 　　當x∈(0，)時，(x)＜0， 　　當x∈(，＋∞)時，(x)＞0， 　　∴f(x)在(0，＋∞)上，f()＝， 　　當x＝時取得最小值．∴an＝． 　　(2)證明：∵bna＝1，∴bn＝． 　　∵＝， 　　∴Sn＝． 　　∴2Sn＜1． 　　(3)不存在，假設(shè)存在兩點Ai，Aj滿足題意，即＝1， 　　令x＝2n，y＝an，則y＝(x≥2)點(x，y)在曲線x2－y2＝1(x≥2，y≥1)上，而雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，其斜率為1，Ai，Aj在雙曲線上，故＜1矛盾． 　　另解：不存在，設(shè)Ai(2i，ai)，Aj(2j，aj)，(其中i，j∈N*)， 　　則＝ 　�。�＝1，故不存在．