Question

已知函數f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，0＜ω＜2，|φ|＜

π

2

）的一系列對應值如下表：

x	…	- π 6	π 3	5π 6	4π 3	11π 6	7π 3	17π 6	…
y	…	-2	0	2	0	-2	0	2	…

（Ⅰ）根據表格提供的數據求函數y=f（x）的解析式；
（Ⅱ）若函數f（kx）（k＜0）的最小正周期為

2π

3

，且當x∈[0，

4π

9

）時，方程f（kx）=m恰有兩個不同的實數解，求實數m的取值范圍，并求這兩個實數解的和．

Answer 1

考點：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式

專題：三角函數的圖像與性質

分析：（Ⅰ）由圖表求得A，T，從而求得ω，代入某一點的坐標求得φ，則函數解析式可求；
（Ⅱ）由函數f（kx）（k＜0）的最小正周期為

2π

3

求得k的值，結合x∈[0，

4π

9

）求得m的范圍，再由對稱性求得兩個實數解的和．

解答： 解：（Ⅰ）由圖表得，A=2，T=

11π

6

-(-

π

6

)=2π，
∴ω=1，
∴f（x）=2sin（x+φ），
由|φ|＜

π

2

，且f（

π

3

）=0，得2sin（

π

3

+φ）=0，
∴φ=-

π

3

．
∴f（x）=2sin（x-

π

3

）；
（Ⅱ）f（kx）=2sin（kx-

π

3

），
由函數f（kx）（k＜0）的最小正周期為

2π

3

，得

2π

|k|

=

2π

3

，
∴k=-3，
∴f（kx）=2sin（-3x-

π

3

），
∵x∈[0，

4π

9

），
∴-3x-

π

3

∈(-

5π

3

，-

π

3

]，
∴方程f（kx）=m恰有兩個不同的實數解的實數m的取值范圍是(-1，-

3

2

]∪(

3

2

，1)．
由對稱性可知，兩個實數解得和為：

π

6

或

7π

6

．

點評：本題考查了Asin（ωx+φ）型函數的圖象和性質，考查了與三角函數有關的函數零點的判定方法，屬中檔題．