Question

設函數(shù)f（x）=xsinx+cosx（-3π＜x＜3π）
（1）求函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-3π，3π）上的極值之和．

Answer 1

考點：利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,利用導數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導數(shù)的綜合應用

分析：（1）求函數(shù)的導數(shù)，利用函數(shù)單調性和導數(shù)之間的故選即可求函數(shù)的單調區(qū)間；
（2）根據(jù)函數(shù)極值和導數(shù)之間的故選，即可求函數(shù)y=f（x）在區(qū)間（-3π，3π）上的極值之和．

解答： 解：（1）∵f（x）=xsinx+cosx
∴f′（x）=（xsinx+cosx）′=（xsinx）′+（cosx）′=x′sinx+x（sinx）′-sinx
=sinx+xcosx-sinx=xcosx，
當0≤x＜3π時，由f′（x）=0，即xcosx=0，即x=0或cosx=0，解得x=0或x=

π

2

，或x=

3π

2

或x=

5π

2

列表：

x	0	（0， π 2 ）	π 2	（ π 2 ， 3π 2 ）	3π 2	（ 3π 2 ， 5π 2 ）	5π 2	（ 5π 2 ，3π）	3π
f′（x）	0	+	0	-	0	+	0	-
f（x）	1	遞增	極大	遞減	極小	遞增	極大	遞減

則函數(shù)f（x）在0≤x＜3π上的單調增區(qū)間為（0，

π

2

），（

3π

2

，

5π

2

），
單調遞減區(qū)間為（

π

2

，

3π

2

），（

5π

2

，3π），
∵f（-x）=xsinx+cosx=f（x），
∴f（x）是偶函數(shù)，
則函數(shù)f（x）=xsinx+cosx（-3π＜x＜3π）的單調增區(qū)間為（0，

π

2

），（

3π

2

，

5π

2

），
（-

3π

2

，-

π

2

），（-3π，-

5π

2

），
單調遞減區(qū)間為（

π

2

，

3π

2

），（

5π

2

，3π），（-

π

2

，0），（-

5π

2

，-

3π

2

）．
（2）∵f（x）是偶函數(shù)，
∴由（1）知對應的極值之和為2（

π

2

+

3π

2

+

5π

2

）=9π．

點評：本題主要考查函數(shù)單調性和極值的求解，利用導數(shù)研究函數(shù)的性質是解決本題的關鍵，運算量較大．