分析 (1)先求與直線l垂直的直線的斜率,可得其方程,利用相切求出結果.
(2)先設存在,利用都有|PB||PA|為一常數(shù)這一條件,以及P在圓上,列出關系,利用恒成立,可以求得結果.
解答 解:(1)設所求直線方程為y=-2x+b,即2x+y-b=0.
∵直線與圓相切,∴|−b|√22+12=3,…(2分)
得b=±3√5,…(3分)
∴所求直線方程為y=−2x±3√5. …(4分)
(2)方法1:假設存在這樣的點B(t,0).
當P為圓C與x軸的左交點(-3,0)時,|PB||PA|=|t+3|2;
當P為圓C與x軸的右交點(3,0)時,|PB||PA|=|t−3|8. …(6分)
依題意,|t+3|2=|t−3|8,解得,t=-5(舍去),或t=−95. …(8分)[
下面證明當點B的坐標為(−95,0)時,對于圓C上任一點P,|PB||PA|恒為一常數(shù):
設P(x,y),則y2=9-x2,
∴|PB|2|PA|2=(x+95)2+y2(x+5)2+y2=1825(5x+17)2(5x+17)=925,
從而|PB||PA|=35為常數(shù). …(12分)
方法2:假設存在這樣的點B(t,0),使得|PB||PA|為常數(shù)λ,則PB2=λ2PA2,
∴(x-t)2+y2=λ2[(x+5)2+y2],
將y2=9-x2代入得x2-2tx+t2+9-x2=λ2(x2+10x+25+9-x2),…(6分)
即2(5λ2+t)x+34λ2-t2-9=0對x∈[-3,3]恒成立,…(8分)
∴\left\{{\begin{array}{l}{5{λ^2}+t=0}\\{34{λ^2}-{t^2}-9=0}\end{array}}\right.,…(10分)
解得\left\{{\begin{array}{l}{λ=\frac{3}{5}}\\{t=-\frac{9}{5}}\end{array}}\right.或\left\{{\begin{array}{l}{λ=1}\\{t=-5}\end{array}}\right.(舍去),…(11分)
所以存在點B(-\frac{9}{5},0)對于圓C上任一點P,都有\frac{{|{PB}|}}{{|{PA}|}}為常數(shù)\frac{3}{5}. …(12分)
點評 本題考查直線和圓的方程的應用,圓的切線方程,又是存在性和探究性問題,恒成立問題,考查計算能力.是難題.
科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | \frac{π}{6} | B. | \frac{π}{3} | C. | \frac{5π}{6} | D. | \frac{2π}{3} |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | {a|a<-1} | B. | {a|a≥2} | C. | {a|-1<a<2} | D. | {a|a≤-1} |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | -540 | B. | -270 | C. | 540 | D. | 270 |
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:填空題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:解答題
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:選擇題
A. | p∨q | B. | p∧q | C. | (¬p)∨(¬q) | D. | (¬p)∨q |
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