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7.已知圓C:x2+y2=9,點A(-5,0),直線l:x-2y=0.
(1)求與圓C相切,且與直線l垂直的直線方程;
(2)在x軸上是否存在定點B(不同于點A),使得對于圓C上任一點P,都有|PB||PA|為常數(shù)?若存在,試求所有滿足條件的點B的坐標;若不存在,請說明理由.

分析 (1)先求與直線l垂直的直線的斜率,可得其方程,利用相切求出結果.
(2)先設存在,利用都有|PB||PA|為一常數(shù)這一條件,以及P在圓上,列出關系,利用恒成立,可以求得結果.

解答 解:(1)設所求直線方程為y=-2x+b,即2x+y-b=0.
∵直線與圓相切,∴|b|22+12=3,…(2分)
b=±35,…(3分)
∴所求直線方程為y=2x±35.   …(4分)
(2)方法1:假設存在這樣的點B(t,0).
當P為圓C與x軸的左交點(-3,0)時,|PB||PA|=|t+3|2;
當P為圓C與x軸的右交點(3,0)時,|PB||PA|=|t3|8.            …(6分)
依題意,|t+3|2=|t3|8,解得,t=-5(舍去),或t=95.      …(8分)[
下面證明當點B的坐標為950時,對于圓C上任一點P,|PB||PA|恒為一常數(shù):
設P(x,y),則y2=9-x2,
|PB|2|PA|2=x+952+y2x+52+y2=18255x+1725x+17=925
從而|PB||PA|=35為常數(shù).   …(12分)
方法2:假設存在這樣的點B(t,0),使得|PB||PA|為常數(shù)λ,則PB22PA2,
∴(x-t)2+y22[(x+5)2+y2],
將y2=9-x2代入得x2-2tx+t2+9-x22(x2+10x+25+9-x2),…(6分)
即2(5λ2+t)x+34λ2-t2-9=0對x∈[-3,3]恒成立,…(8分)
\left\{{\begin{array}{l}{5{λ^2}+t=0}\\{34{λ^2}-{t^2}-9=0}\end{array}}\right.,…(10分)
解得\left\{{\begin{array}{l}{λ=\frac{3}{5}}\\{t=-\frac{9}{5}}\end{array}}\right.或\left\{{\begin{array}{l}{λ=1}\\{t=-5}\end{array}}\right.(舍去),…(11分)
所以存在點B(-\frac{9}{5},0)對于圓C上任一點P,都有\frac{{|{PB}|}}{{|{PA}|}}為常數(shù)\frac{3}{5}.    …(12分)

點評 本題考查直線和圓的方程的應用,圓的切線方程,又是存在性和探究性問題,恒成立問題,考查計算能力.是難題.

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