Question

設函數f（x）=（x-1）²+blnx，其中b為常數．
（1）當b＞時，判斷函數f（x）在定義域上的單調性；
（2）當b≤0時，求f（x）的極值點并判斷是極大值還是極小值；
（3）求證對任意不小于3的正整數n，不等式＜ln（n+1）-lnn＜都成立．

Answer 1

【答案】分析：（1）先確定f（x）的定義域，求出f（x）的導函數，進而導函數大于0，可得函數在定義域內單調遞增；
（2）令f（x）的導函數等于0，求出此時符合定義域的解，然后利用這個解把（0，+∞）分成兩段，討論導函數的正負得到函數f（x）的增減性，根據f（x）的增減性即可得到函數的唯一極小值；
（3）確定f（x）在（0，）為減函數，根據當n≥3時，0＜1＜1+≤＜，可得當n≥3時，恒有l(wèi)n（n+1）-lnn＞；令函數h（x）=（x-1）-lnx（x＞0），則x∈[1，+∞）時，h（x）為增函數，由此可知結論成立．
解答：（1）解：由題意知，f（x）的定義域為（0，+∞），f′（x）=
∴當b＞時，f'（x）＞0，函數f（x）在定義域（0，+∞）上單調遞增；
（2）解：當b≤0時，f′（x）=0有兩個不同解，，
∵≤0，，∴舍去x₁，
此時 f'（x），f（x）隨x在在定義域上的變化情況如下表：

x	（0，x1）	x2	（x2，+∞）
f′（x）	-		+
f（x）	減	極小值	增

由此表可知：b≤0時，f（x）有惟一極小值點，
（3）證明：由（2）可知當b=-1時，函數f（x）=（x-1）2-lnx，此時f（x）有惟一極小值點：x=
且x∈（0，）時，f'（x）＜0，f（x）在（0，）為減函數．
∵當n≥3時，0＜1＜1+≤＜
∴恒有f（1）＞f（1+），即恒有0＞-ln（1+）=-[ln（n+1）-lnn]．
∴當n≥3時，恒有l(wèi)n（n+1）-lnn＞
令函數h（x）=（x-1）-lnx（x＞0）則h′（x）=
∴x＞1時，h′（x）＞0，又h（x）在x=1處連續(xù)，
∴x∈[1，+∞）時，h（x）為增函數
∵n≥3時，1＜1+，∴h（1+）＞h（1），即
∴l(xiāng)n（n+1）-lnn=ln（1+）＜
綜上，對任意不小于3的正整數n，不等式＜ln（n+1）-lnn＜都成立．
點評：本題考查學生會利用導函數的正負判斷函數的單調性，并根據函數的單調性得到函數的極值，掌握導數在最值問題中的應用，是一道綜合題，有一定的難度．