Question

11．已知一個(gè)袋內(nèi)有5只不同的紅球，6只不同的白球．
（1）從中任取4只球，紅球的只數(shù)不比白球少的取法有多少種？
（2）若取一只紅球記2分，取一只白球記1分，從中任取5只球，使總分不小于7分的取法有多少種？
（3）在（2）條件下，當(dāng)總分為8時(shí)，將抽出的球排成一排，僅有兩個(gè)紅球相鄰的排法種數(shù)是多少？

Answer 1

分析 （1）由題意知本題是一個(gè)分類計(jì)數(shù)問(wèn)題，取4個(gè)紅球，沒有白球，取3個(gè)紅球1個(gè)白球，取2個(gè)紅球2個(gè)白球，根據(jù)加法原理得到結(jié)果．
（2）設(shè)出取到白球和紅球的個(gè)數(shù)，根據(jù)兩個(gè)未知數(shù)的和是5，列出方程，根據(jù)分?jǐn)?shù)不少于7，列出不等式，根據(jù)這是兩個(gè)整數(shù)，列舉出結(jié)果．
（3）總分為8分，則抽取的個(gè)數(shù)為紅球3個(gè)，白球2個(gè)，將抽出的球排成一排，僅有兩個(gè)紅球相鄰，分兩步，第一步先取球，第二步，再排，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得．

解答 解：（1）將取出4個(gè)球分成三類情況：
①取4個(gè)紅球，沒有白球，C₅⁴種；
②取3個(gè)紅球1個(gè)白球，C₅³C₆¹種；
③取2個(gè)紅球2個(gè)白球，C₅²C₆²種，
∴C₅⁴+C₅³C₆¹+C₅²C₆²=215種，
（2）設(shè)x個(gè)紅球y個(gè)白球，$\left\{\begin{array}{l}{2x+y≥7}\\{x+y=5}\end{array}\right.$，
$\left\{\begin{array}{l}{x=2}\\{y=3}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=3}\\{y=2}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$．
∴符合題意的取法種數(shù)有C₅²C₆³+C₅³C₆²+C₅⁴C₆¹=381種．
（3）總分為8分，則抽取的個(gè)數(shù)為紅球3個(gè)，白球2個(gè)，將抽出的球排成一排，僅有兩個(gè)紅球相鄰，
第一步先取球，共有C₅³C₆²=150種，
第二步，再排，先選2個(gè)紅球捆綁在一起，再和另外一個(gè)紅球排列，把2個(gè)白球插入，共有A₃²A₂²A₃²=72
根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理可得，150×72=10800．

點(diǎn)評(píng) 本題考查分類分步計(jì)數(shù)原理，解題的關(guān)鍵是對(duì)于分類要做到不重不漏，準(zhǔn)確的表示出結(jié)果．是一個(gè)中檔題．