Question

如圖，為了測不可到達的河北岸C，D之間的距離，在河南岸選定A，B兩點，測得AB=100米，∠CAD=60°，∠DAB=30°，∠DBA=105°，∠CBA=45°，設A，B，C，D在同一個平面內，試求C，D兩點之間的距離．

Answer 1

分析：在直角三角形CAB中，利用勾股定理，求出BC的長度，在三角形ABD中，由正弦定理求出BD的長度，在三角形CBD中，利用余弦定理求出CD的長度．

解答：解：∠CAB=∠CAD+∠DAB=60°+30°=90°，∠CBA=45°，
在Rt△CAB中，BC=

AB2+AC2

=

1002×2

=100

2

，
∠ADB=180°-∠DAB-∠DBA=180°-30°-105°=45°，
在△ADB中，

BD

sin∠DAB

=

AB

sin∠ADB

，
BD=

100×sin30°

sin45°

=50

2

，
∠CBD=∠DBA-∠CBA=105°-45°=60°，
在△CBD中，CD²=BC²+BD²-2BC×BD×cos∠CBD
=20000+5000-10000=15000，
∴CD=50

6

，
即C，D兩點之間的距離為50

6

米．

點評：本題考查解三角形的實際應用，做這類是需要仔細觀察，要求的量需要在哪個三角形中求，又需要哪些量，這些量又應該在哪些三角形中求，一一破解；
本題用到的知識點有勾股定理，正弦定理，余弦定理，勾股定理只能用于直角三角形中，正弦定理在解三角形時，用于下面兩種情況：一是知兩邊一對角，二是知兩角和一邊，余弦定理在解三角形中，用于下面兩種題型：知三邊解三角形；知兩邊及夾角解三角形．