Question

設(shè)a＞0,求函數(shù)f(x)=-ln(x+a)(x＞0)的單調(diào)區(qū)間.

Answer 1

解：f′(x)=(x＞0).

當(dāng)a＞0,x＞0時(shí),f′(x)＞0x+a＞2x²+(2a-4)x+a²＞0，

f′(x)＜0x²+(2a-4)x+a²＜0.

對于函數(shù)g(x)=x²+(2a-4)x+a²,由于Δ=（2a-4）²-4a²=-16a+16,

(1)當(dāng)a＞1時(shí),Δ＜0,對所有x＞0,恒有x²+(2a-4)+a²＞0,

即f′(x)＞0,此時(shí)f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.

(2)當(dāng)a=1時(shí),Δ=0,對x≠1,有x²+(2a-4)x+a²＞0,

即f′(x)＞0,此時(shí)f(x)在(0,1)，（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增,又知函數(shù)f(x)在x=1處連續(xù),因此,函數(shù)f(x)在(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.

（3）當(dāng)0＜a＜1時(shí),令f′(x)＞0,即x²+(2a-4)x+a²＞0.

解得x＜2-a-2或x＞2-a+2.

因此,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,2-a-2)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(2-a+2,+∞)內(nèi)也單調(diào)遞增.

令f′(x)＜0,即x²+(2a-4)x+a²＜0,解得2-a-2＜x＜2-a+2.

因此,函數(shù)f(x)在區(qū)間(2-a-2,2-a+2)內(nèi)單調(diào)遞減.