Question

等差數(shù)列{a_n}中，，前n項和為S_n，S₂=4且S₄=12，等比數(shù)列{b_n}的公比為8，且b₃=64．
（Ⅰ）求a_n與b_n；
（Ⅱ）求

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

Answer 1

分析：（Ⅰ）設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，根據(jù)題意建立方程，求得{a_n}，{b_n}的通項公式；
（Ⅱ）首先求出等差數(shù)列的前n項和{S_n}的表達式，進而求出

1

sn

，觀察

1

sn

的形式，利用裂項求和法即可求得

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

．

解答：解：設等差數(shù)列{a_n}的公差為d，等比數(shù)列{b_n}的公比為q，
（Ⅰ）由題意得：

S2=2a1+d=4 S4=4a1+6d=12

，
解得a₁=

3

2

，d=1
∴an=n+

1

2

，

q=8 b3=64

，解得b₁=1∴b_n=8^n-1；
（Ⅱ）∵Sn=

n(n+2)

2

∴

1

Sn

=

1

n

-

1

n+2

∴

1

S1

+

1

S2

+…+

1

Sn

=（

1

1

-

1

3

）+（

1

2

-

1

4

）+（

1

3

-

1

5

）+…+（

1

n

-

1

n+2

）
=1+

1

2

-

1

n+1

-

1

n+2

=

3n2-13n

2(n+1)(n+2)

．

點評：本題主要考查數(shù)列求和和等差、等比數(shù)列求和公式的知識點，解答本題的關(guān)鍵是熟練掌握等差等比數(shù)列的性質(zhì)，充分利用列項法求數(shù)列的和，本題難度一般．