Question

已知f（x）是定義在R上不恒為零的函數(shù)，對任意a，b∈R，滿足f（ab）=af（b）+bf（a），且f（2）=2，記a_n=f（2ⁿ）（n∈N^*）
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）求證：
（3）若數(shù)列{b_n}滿足，求證：（注：ln2≈0.6931）

Answer 1

（1）解：令a=2ⁿ，b=2，得f（2ⁿ⁺¹）=2ⁿf（2）+2f（2ⁿ）
∵a_n=f（2ⁿ）
∴a_n+1=2ⁿ•2+2a_n，
∴，且
即數(shù)列是以1為，1為首項的等差數(shù)列
∴，
∴a_n=n•2ⁿ
（2）證明：當n≥4時，
∴=
（3）證明：∵數(shù)列{b_n}滿足，
∴b_n=n²，
要證：
即證：
即證：
即證：
即證：
即證：
即證：
即證：
即證：
即證：
即證：（n≥2）
即證：（lnn）²＜n（n≥2）
即證：f（n）=（lnn）²-n（n≥2）

令g（n）=2lnn-n 可得
所以g（n）單調遞減，所以g（n）≤g（2）=2ln2-2＜0
所以f′（n）＜0，所以f（n）單調遞減
所以f（n）≤f（2）=（ln2）²-2＜0
故得證．
分析：（1）令a=2ⁿ，b=2，得f（2ⁿ⁺¹）=2ⁿf（2）+2f（2ⁿ），根據a_n=f（2ⁿ），可得a_n+1=2ⁿ•2+2a_n，從而可知數(shù)列是以1為，1為首項的等差數(shù)列，故可求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）當n≥4時，，利用放縮法可證；
（3）根據數(shù)列{b_n}滿足，b_n=n²，利用分析法轉化為證明（lnn）²＜n（n≥2），構造函數(shù)f（n）=（lnn）²-n（n≥2），可證f（n）單調遞減，從而得證．
點評：本題以函數(shù)為載體，考查構造法證明等差數(shù)列，考查放縮法、分析法證明不等式，綜合性強，難度較大．