Question

已知數列{a_n}滿足a₁=1，a_n＞0，S_n是數列{a_n}的前n項和，對任意n∈N₊，有2S_n=p（2a

2 n

+a_n-1）（p為常數）．
（1）求p和a₂，a₃的值；
（2）求數列{a_n}的通項公式．

Answer 1

分析：（1）可以令n=1，根據a₁=s₁=1，求出p值，再令n=2和n=3代入通項s_n，求出a₂，a₃的值；
（2）根據通項公式，往下推一下可得2S_n-1=p（2a

2 n-1

+a_n-1-1）（n≥2），兩式相減，可得a_n是一個等差數列，根據等差數列的性質進行求解；

解答：解：（1）令n=1得2S=p（2

a

2 1

+a₁-1）
又a₁=s₁=1，得p=1；
令n=2得2S₂=p（2

a

2 2

+a₂-1），又s₂=1+a₂，
得2

a

2 2

-a₂-6=0，a₂=

3

2

或a₂=-1（舍去）
∴a₂=

3

2

，
令n=3，得2S₃=2

a

2 3

+a₃-1，s₃=

5

2

+a₃，得，
2

a

2 3

-a₃-6=0，a₃=2，或a₃=-

3

2

（舍去），
∴a₃=2；
（2）由2S_n=p（2a

2 n

+a_n-1），
2S_n-1=p（2a

2 n-1

+a_n-1-1）（n≥2），
兩式子相減，得2a_n=2（

a

2 n

-a

2 n-1

）+a_n-a_n-1，
即（a_n+a_n-1）（2a_n-2a_n-1-1）=0，
因為a_n＞0，所以2a_n-2a_n-1-1=0，
即a_n-a_n-1=

1

2

（n≥2），
故{a_n}是首項為1，公差為

1

2

的等差數列，
得a_n=

1

2

（n+1）；

點評：此題主要考查等差數列的通項公式，第一問利用特殊值法進行求解，第二問難度比較大，利用遞推法求出a_n的通項公式，是一道中檔題；