Question

已知函數(shù)，數(shù)列{a_n}滿足a₁=1，a_n+1=f（a_n）；數(shù)列{b_n}滿足，，其中S_n為數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和，n=1，2，3…
（1）求數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)，證明T_n＜5．

Answer 1

解：（1）∵f（x）=，∴，
∴，
∴是以為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，
∴，
∴，又∵，，
∴，
b_n+2=2S_n+1+1，
∴b_n+2-b_n+1=2（S_n+1-S_n），
∴b_n+2=3b_n+1，∵，b₂=2S₁+1=2，
∴{b_n}從第二項(xiàng)起成等比數(shù)列，公比為3，
∴．
（2）證明：依題意
，
令，①
+…+，②
①-②，得+…+
=3+2×
∴，
∴
=5-＜5．
即T_n＜5．
分析：（1）由f（x）=，知，所以，．由，知，由此能求出數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式．
（2）依題意，令，由錯(cuò)位相減法能求出，所以=5-＜5．
點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列與函數(shù)的綜合，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．易錯(cuò)點(diǎn)是計(jì)算量大，在計(jì)算過程中容易出錯(cuò)．