Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是棱BC，cc₁上的點，CF=AB=2CE，AB：AD：AA₁=1：2：4．
（1）證明AF⊥平面A₁ED；
（2）求平面A₁ED與平面FED所成的角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）以點A為坐標原點建立空間直角坐標系，設AB=1，分別求出AF，ED，A₁E的方向向量，根據(jù)數(shù)量積為0，兩向量垂直可判斷出AF與ED，A₁E均垂直，結(jié)合線面垂直的判定定理即可得到AF⊥平面A₁ED；
（2）分別求出平面A₁ED的法向量和平面EDF的法向量，代入向量夾角公式即可求出二面角A₁-ED-F的余弦值．

解答：證明：以點A為坐標原點建立空間直角坐標系，設AB=1，依題意得
D（0，2，0），F(xiàn)（1，2，0），A₁（0，0，4），E（1，

3

2

，0）
（1）易知

AF

=（1，2，1），

EA1

=（-1，-

3

2

，4），

ED

=（-1，

1

2

，0），
于是

AF

•

EA1

=0，

AF

•

ED

=0，因此AF⊥A₁E，AF⊥ED，又A₁E∩ED=E，
所以AF⊥平面A₁ED．
（2）設平面EFD的法向量

n

=（x，y，z）
則

n • EF =0 n • ED =0

，即

1 2 y+z=0 -x+ 1 2 y=0

不妨令x=1，可得

n

=（1，2，-1）由（1）可知，

AF

為平面A₁ED的一個法向量．
于是cos ＜

n

，

AF

＞=

n • AF

| n |•| AF |

=

2

3

，
所以平面A₁ED與平面FED所成的角的余弦值為

2

3

點評：本題考查的知識點是用空間向量求直線間的夾角、距離，直線與平面垂直的判定，用空間向量求平面間的夾角，其中建立適當?shù)目臻g坐標系，將空間線、面夾角問題轉(zhuǎn)化為向量夾角問題是解答本題的關鍵．