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13.已知數(shù)列{an},Sn為其前n項的和,滿足Sn=nn+12
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)設(shè)數(shù)列{1an}的前n項和為Tn,數(shù)列{Tn}的前n項和為Rn,求證:當n≥2,n∈N*時Rn-1=n(Tn-1);
(3)若函數(shù)f(x)=1p13qx+1的定義域為R,并且limnf(an)=0(n∈N*),求證p+q>1.

分析 (1)當n=1時,a1=S1=1,當n≥2,an=Sn-Sn-1=n,
(2)寫出數(shù)列{1an}的通項公式,數(shù)列1an=1n,求得前n項和,及Rn1=1+1+12+1+12+13++1+12++1n1,整理得Rn-1=n(Tn-1);
可以采用數(shù)學歸納法證明:先驗證當n=2,等式成立,
再假設(shè)當n=k時成立,推出n=k+1時成立,其中要利用好假設(shè)條件,
(3)分類討論q的取值,當q≠0,q=0與limnfan=0nN矛盾,
當q≠0,(p-1)3qx+1≠0恒成立,即p-1≠13qx,恒成立,13qx的值域為
(-∞,0)恒成立,結(jié)合條件3q>1,從而p+q>1.

解答 解:(1)當n=1時,a1=S1=1,
當n≥2時,an=SnSn1=nn+12n1n2=n
∴an=n;
(2)、<法一>∵1an=1n,
Tn=1+12++1n
Rn1=1+1+12+1+12+13++1+12++1n1
=n11+n212+n313++11n1
=n1+12+13++1n11+1n=n1+12+13++1n1+1n1=nTn1n2
<法二>:數(shù)學歸納法
①n=2時,R1=T1=1a1=12T21=21a1+1a21=1
②假設(shè)n=k(k≥2,k∈N*)時有Rk-1=k(Tk-1)
當n=k+1時,Rk=Rk1+Tk=kTk1+Tk=k+1Tkk=k+1Tk+11ak+1k=k+1Tk+11+11k+1k=k+1Tk+11∴n=k+1是原式成立
由①②可知當n≥2,n∈N*時Rn-1=n(Tn-1);           
(3)、易知q≠0,否則若q=0,則fx=1p,與limnfan=0nN矛盾,
∵函數(shù)f(x)的定義域為R,所以(p-1)•3qx+1恒不為零,而3qx的值域為(0,+∞),
∴p-1≥0,又p=1時,f(x)=1,與limnfan=0nN矛盾,
故p>1∵fan=1p13qn+1=1p13qn+1,
limnfan=0
∴3q>1,∴q>0
即有p+q>1.

點評 本題考查求數(shù)列的通項公式、利用數(shù)學歸納法證明及利用極限的性質(zhì)證明,過程復雜、繁瑣,屬于難題.

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