Question

已知函數(shù)f（x）=ax+

a-1

x

-lnx+1（a∈R）．
（1）討論f（x）的單調性
（2）當x∈（0，1）時，若不等式f（x）＜1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點：利用導數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值,利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性

專題：導數(shù)的綜合應用,不等式的解法及應用

分析：（1）求出f′（x）=

ax2-x-a+1

x2

．根據(jù)a的值進行分解討論．
（2）分類得出f（x）_max＜1，根據(jù)（1）中得出當a≤

1

2

時，只需f（1）≤1；②當a≥1時，③當

1

2

＜a＜1都不符合恒成立，總結出a的取值范圍．

解答： 解：（1）f′（x）=

ax2-x-a+1

x2

．
當a=0時f′（x）=

1-x

x2

，
∴f（x）在（0，1]上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減；
當a≠0時，f′（x）=

a(x-1)(x- 1-a a )

x2

當a＜0時，

1-a

a

＜0，
∴f（x）在（0，1]上單調遞增，在（1，+∞）上單調遞減；
當0＜a＜

1

2

，

1-a

a

＞1∴f（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，

1-a

a

）上單調遞減，在[

1-a

a

，+∞）上單調遞增；
當a=

1

2

，∴f（x）在（0，+∞）單調遞增；
當

1

2

＜a＜1時，0＜

1-a

a

＜1，∴f（x）在（0，

1-a

a

）上單調遞增，
在（

1-a

a

，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
當a≥1時，

1-a

a

＜0，∴f（x）在（0，1）上單調遞減，在（1，+∞）上單調遞增，
（2）當x∈（0，1）時，若不等式f（x）＜1恒成立，
∵通過（1）可知，①，函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調遞增，
∴只需f（1）≤1，即a+a-1-ln1+1≤1，a≤

1

2

，
②當a≥1時，f（x）在（0，1）上單調遞減，不可能恒成立，
③當

1

2

＜a＜1時，f（x）在（0，

1-a

a

）上單調遞增，在（

1-a

a

，1）上單調遞減，
f（x）_max=1-a-

1

a

-ln

1-a

a

，如果a→1時f（x）_max=1-a-

1

a

-ln

1-a

a

＞0
∴不符合題意，
綜上：當x∈（0，1）時，若不等式f（x）＜1恒成立，實數(shù)a的取值范圍：a≤

1

2

．

點評：運用導數(shù)判斷單調性，關鍵是怎樣分類討論，把不等式恒成立問題轉化為函數(shù)最值的比較，思維量大，屬于難題．