Question

（2013•豐臺(tái)區(qū)二模）已知偶函數(shù)f（x）（x∈R），當(dāng)x∈（-2，0]時(shí)，f（x）=-x（2+x），當(dāng)x∈[2，+∞）時(shí)，f（x）=（x-2）（a-x）（a∈R）．
關(guān)于偶函數(shù)f（x）的圖象G和直線l：y=m（m∈R）的3個(gè)命題如下：
①當(dāng)a=2，m=0時(shí)，直線l與圖象G恰有3個(gè)公共點(diǎn)；
②當(dāng)a=3，m=

1

4

時(shí)，直線l與圖象G恰有6個(gè)公共點(diǎn)；
③?m∈（1，+∞），?a∈（4，+∞），使得直線l與圖象G交于4個(gè)點(diǎn)，且相鄰點(diǎn)之間的距離相等．
其中正確命題的序號(hào)是（　�。�

A．①②

B．①③

C．②③

D．①②③

Answer 1

分析：可求出函數(shù)在x∈[0，+∞）時(shí)的解析式，令其等于0，解方程可得根，由對(duì)稱(chēng)性可得根的個(gè)數(shù)，可判①②正確；③同理可得根個(gè)數(shù)為4，可得4個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)，由x₃-x₂=x₄-x₃，化簡(jiǎn)可得a的范圍，取a的值即可．

解答：解：設(shè)x∈[0，2），則-x∈（-2，0]，故f（-x）=x（2-x），
由函數(shù)為偶函數(shù)可知，當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=x（2-x），
故當(dāng)x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）=

x(2-x)，x∈[0，2) (x-2)(a-x)，x∈[2，+∞)

，
①當(dāng)a=2，m=0時(shí)，x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）=

x(2-x)，x∈[0，2) -(x-2)2，x∈[2，+∞)

，
令其等于0可得，x=0，或x=2，由函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可知，
此時(shí)直線l與圖象G恰有3個(gè)公共點(diǎn)-2，0，2，故①正確；
②當(dāng)a=3，m=

1

4

時(shí)，x∈[0，+∞）時(shí)，f（x）=

x(2-x)，x∈[0，2) (x-2)(3-x)，x∈[2，+∞)

，
令其等于

1

4

可得x=

2- 3

2

，或x=

2+ 3

2

，或x=

5

2

，由函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可知，
此時(shí)直線l與圖象G恰有6個(gè)公共點(diǎn)-

2- 3

2

，-

2+ 3

2

，-

5

2

，

2- 3

2

，

2+ 3

2

，

5

2

，故②正確；
③?m∈（1，+∞），令f（x）=

x(2-x)，x∈[0，2) (x-2)(a-x)，x∈[2，+∞)

=m，
∵當(dāng)x∈[0，2）時(shí)，f（x）=x（2-x）=-（x-1）²+1≤1，
故只能讓?zhuān)?-x）（a-x）=m，（m＞1），當(dāng)△=（a-2）²-4m＞0，
即（a-2）²＞4，即a＞4，或a＜0時(shí)，
可解得x=

a+2- (a-2)2-4m

2

，或x=

a+2+ (a-2)2-4m

2

，
故由函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性可知直線l與圖象G交于4個(gè)點(diǎn)，由小到大排列為：x₁=-

a+2+ (a-2)2-4m

2

，
x₂=-

a+2- (a-2)2-4m

2

，x₃=

a+2- (a-2)2-4m

2

，x₄=

a+2+ (a-2)2-4m

2

，
而x₄-x₃=

(a-2)2-4m

，x₃-x₂=a+2-

(a-2)2-4m

，
由x₃-x₂=x₄-x₃，化簡(jiǎn)可得3a²-20a+12=16m＞16，解得a＜

10-2 22

3

，或a＞

10+2 22

3

，
故可取a=8＞

10+2 22

3

，當(dāng)然滿足a∈（4，+∞），使距離相等，
故對(duì)?m∈（1，+∞），?a=8∈（4，+∞），使得直線l與圖象G交于4個(gè)點(diǎn)，且相鄰點(diǎn)之間的距離相等，故③正確．
故選D

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題真假的判斷，涉及函數(shù)的奇偶性和根的個(gè)數(shù)的判斷，屬基礎(chǔ)題．