如圖，四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、PC的中點，PA＝AD＝a．

(Ⅰ)求證：MN∥平面PAD；

(Ⅱ)求證：平面PMC⊥平面PCD；

(Ⅲ)若二面角P－MC－A是的二面角，求四棱錐P－ABCD的體積．

答案：
解析：

　　(1)證明：設PD的中點為E，連AE、NE，

　　由N為PC的中點知ENDC，

　　又ABCD是矩形，∴DCAB，∴ENAB，

　　又M是AB的中點，∴ENAN，∴AMNE是．

　　∴MN∥AE，

　　而AE平面PAD，∴MN∥平面PAD，

　　(2)證明：∵PA＝AD，∴AE⊥PD，

　　又∵PA⊥平面ABCD，CD平面ABCD，∴CD⊥PA，而CD⊥AD，∴CD⊥平面PAD，

　　∴CD⊥AE，∵PD∩CD＝D，∴AE⊥平面PCD，

　　∵MN∥AE，∴MN⊥平面PCD，

　　又MN平面PMC，∴平面PMC⊥平面PCD．

　　(3)解：過A作AH⊥CM，交CM的延長線于H，連PH．

　　∵PA⊥平面ABCD，AH⊥CH，∴PH⊥CH，

　　∴∠PHA是二面角P－MC－A的平面角，

　　∴AH＝

　　又∵Rt△MHA∽Rt△MBC，

　　

　　∴

　　∴AB＝2AM＝

　　∴


練習冊系列答案
相關(guān)習題

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3
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（Ⅱ）若E是BC邊上任一點，證明：PE⊥AF；
（Ⅲ）若BE=
3
3
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（1）求證：EF∥平面PAD；
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精英家教網(wǎng)如圖，四棱錐P-ABCD，PA⊥底面ABCD，AB∥CD，AB⊥AD，AB=AD=
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CD=2，PA=2，M，E，F(xiàn)分別是PA，PC，PD的中點．
（1）證明：EF∥平面PAB；
（2）證明：PD⊥平面ABEF；
（3）求直線ME與平面ABEF所成角的正弦值．

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