Question

（本小題滿分14分）

已知函數(shù)。

（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間。

（Ⅱ）若上恒成立，求實數(shù)的取值范圍

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，對任意的，求證：。

 

Answer 1

【答案】

解：（Ⅰ）當時，恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．

（Ⅱ）若在上恒成立，=1．

(Ⅲ）見解析。

【解析】本試題主要是考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。利用導數(shù)求解單調(diào)區(qū)間和最值問題，以及證明不等式的成立。

（1）先求解定義域，然后分析導數(shù)為正和負的解集，得到單調(diào)區(qū)間。

(2)因為上恒成立，，只要求解函數(shù)f(x)的最大值小于等于零即可。因此轉(zhuǎn)換為求解函數(shù)的最大值的思想來解決。

(3) 要證明，而由（Ⅱ）得： ，那么利用不等式的關(guān)系來分析放縮得到證明。

解：（Ⅰ）

當時，恒成立，則函數(shù)在上單調(diào)遞增；………2分

當時，由，則 

則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．　　     …………………4分

（Ⅱ）由（Ⅰ）得：當時顯然不成立；　　　　　　　　　　　　

  當時，,

只需即可�。�　　　　　　　　　　　　　　…………………………．6分

令,

則，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．

，

即對恒成立，也就是對恒成立，

∴解得，…………………………9分

∴若在上恒成立，=1． ……………10分

(Ⅲ）,　………11分

由得,

由（Ⅱ）得： ,………12分

則,

則原不等式成立　．　　　　　…………………………14分