Question

在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且asinB-bcosC=ccosB．
（Ⅰ）判斷△ABC的形狀；
（Ⅱ）若f（x）=sinx+cosx，求f（A）的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（I）法一：由已知結(jié)合正弦定理對(duì)已知化簡(jiǎn)可求B，進(jìn)而可判斷三角形的形狀
法二：由已知結(jié)合余弦定理對(duì)已知化簡(jiǎn)可求B，進(jìn)而可判斷三角形的形狀
（II）由輔助角公式對(duì)已知函數(shù)f（x）先化簡(jiǎn)，然后代入可求f（A），結(jié)合（I）中的角B可求A的 范圍，然后結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解
解答：解：（Ⅰ）（法1）因?yàn)?nbsp;asinB-bcosC=ccosB，
由正弦定理可得 sinAsinB-sinBcosC=sinCcosB．         …（3分）
即sinAsinB=sinCcosB+cosCsinB，
所以 sin（C+B）=sinAsinB．                                …（4分）
因?yàn)樵凇鰽BC中，A+B+C=π，
所以 sinA=sinAsinB又sinA≠0，…（5分）
所以 sinB=1，．
所以△ABC為的直角三角形．                           …（6分）
（法2）因?yàn)?nbsp;asinB-bcosC=ccosB，
由余弦定理可得 ，…（4分）
所以 asinB=a．
因?yàn)閍≠0，所以sinB=1．                                  …（5分）
所以在△ABC中，．
所以△ABC為的直角三角形．                           …（6分）
（Ⅱ）因?yàn)?nbsp;，…（8分）
所以 ．                                 …（9分）
因?yàn)椤鰽BC是的直角三角形，
所以 ，…（10分）
所以 ，…（11分）
所以 ．                                  …（12分）
即f（A）的最大值為．                                    …（13分）
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了正弦定理、余弦定理及和差角公式在求解三角形中的應(yīng)用，其中正弦函數(shù)性質(zhì)的靈活應(yīng)用是求解（II）的關(guān)鍵