Question

19．以直角坐標系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，已知點P的直角坐標為（1，-5），點M的極坐標為（8，$\frac{π}{2}$），若直線l過點P，且傾斜角為$\frac{π}{3}$，圓C以M為圓心、8為半徑．
（1）求直線l的參數方程和圓C的極坐標方程；
（2）若直線l和圓C相交于點A、B，求|PA|•|PB|的值．

Answer 1

分析 （1）由題意，直線l的普通方程是y+5=（x-1）tan $\frac{π}{3}$，此方程可化為$\frac{y+5}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{x-1}{cos\frac{π}{3}}$=t（t為參數），得直線l的參數方程．如圖，設圓上任意一點為P（ρ，θ），則在△POM中，由余弦定理，得PM²=PO²+OM²-2•PO•OMcos∠POM，化簡即可得出．
（2）由（1）可進一步得出圓C的直角坐標方程是x²+（y-8）²=64，將直線l的參數方程代入上式有${t^2}+（1-13\sqrt{3}）t+106=0$，|PA|•|PB|=|t₁|•|t₂|=|t₁•t₂|．

解答 解：（1）由題意，直線l的普通方程是y+5=（x-1）tan $\frac{π}{3}$，此方程可化為$\frac{y+5}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{x-1}{cos\frac{π}{3}}$，
令$\frac{y+5}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{x-1}{cos\frac{π}{3}}$=t（t為參數），得直線l的參數方程為$\left\{{\begin{array}{l}{x=1+\frac{1}{2}t}\\{y=-5+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t}\end{array}}\right.$（t為參數）．
如圖，設圓上任意一點為P（ρ，θ），則在△POM中，由余弦定理，得PM²=PO²+OM²-2•PO•OMcos∠POM，
∴8²=ρ²+8²-2×8ρcos$（θ-\frac{π}{2}）$．

化簡得ρ=16sin θ，即為圓C的極坐標方程． 
（2）由（1）可進一步得出圓C的直角坐標方程是x²+（y-8）²=64
將直線l的參數方程代入上式有${t^2}+（1-13\sqrt{3}）t+106=0$
設點A、B對應的參數分別為t₁，t₂，則t₁•t₂=106．
故|PA|•|PB|=|t₁|•|t₂|=|t₁•t₂|=106．

點評 本題考查了直線與圓相交弦長問題、極坐標的應用、余弦定理，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．