Question

如圖，在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱與底面垂直，∠CAB=90°，AC=2，BC=

5

，且CB₁⊥A₁B．
（1）求側(cè)棱AA₁的長；
（2）求三棱錐B₁-A₁BC的體積．

Answer 1

考點(diǎn)：棱柱、棱錐、棱臺的體積,點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）以A為原點(diǎn)，AC為x軸，AB為y軸，AA₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出側(cè)棱AA₁的長．
（2）由VB1-A1BC=VC-A1B1B，利用等積法能求出三棱錐B₁-A₁BC的體積

解答： 解：（1）以A為原點(diǎn)，AC為x軸，AB為y軸，AA₁為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)AA₁=t，t＞0，由已知得C（2，0，0），A₁（0，0，t），
B（0，1，0），B₁（0，1，t），

A1B

=(0，1，-t)，

CB1

=（-2，1，t），
∵CB₁⊥A₁B，
∴

A1B

•

CB1

=1-t²=0，
由t＞0，解得t=1，
∴側(cè)棱AA₁的長為1．
（2）∵∠CAB=90°，∴CA⊥AB，
∵側(cè)棱與底面垂直，∴AC⊥AA₁，
又AB∩AA₁=A，∴CA⊥平面A₁B₁B，
∵S△A1B1B=

1

2

×1×1=

1

2

，CA=2，
∴VB1-A1BC=VC-A1B1B=

1

3

×S△A1B1B×CA=

1

3

×

1

2

×2=

1

3

．

點(diǎn)評：本題考查三棱錐側(cè)棱長的求法，考查三棱錐的體積的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．