Question

【題目】已知數列滿足,且.

（1）當時,寫出的通項公式（直接寫出答案,無需過程）;

（2）求最小整數,使得當時, 是單調遞增數列;

（3）是否存在使得是等比數列？若存在請求出;若不存在請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析.

【解析】試題分析：（1）寫出幾項，歸納即得，（2）先計算歸納可得當時, 是單調遞增數列.再根據數學歸納法給以證明，（3）根據計算可得時, 不是等比數列.再證時 , 也不是等比數列.

試題解析：（1）

（2）當時, ,,,不單調遞增；

當時,由（1）知不單調遞增；

當時, ,,,不單調遞增；

當時, ,,,

當時, ,,,

由此猜測當時, 是單調遞增數列.

下面用數學歸納法證明一個更強得猜想:當時,

當時,猜想成立；

假設當時,猜想成立,即,

當時,因為,所以,

即時,猜想扔成立.

由,及數學歸納法知,當時, ,

此時因為,所以,所以,

由此當時, 是單調遞增數列.

（3）由（2）知, 時, 不是等比數列.

當時, ,因此,

可求出通項公式為,所以不存在使得是等比數列