如圖,直線l1和l2相交于點M,l1⊥l2,點N∈l1,以AB為端點的曲線C上任一點到l2的距離與到點N的距離相等.又知△AMN為銳角三角形,|AM|=,|AN|=3,且|BN|=6,建立適當坐標系,求曲線段C的方程.

答案:
解析:

  解析:方法一:建立坐標系,以l1為x軸,MN的垂直平分線為y軸,點O為坐標原點.

  依題意知曲線段C是以點N為焦點,以l2為準線的拋物線的一段,其中A、B分別為C的端點.

  設(shè)曲線段C的方程為y2=2px(p>0)(xA≤x≤xB,y>0),其中xA、xB分別為A、B的橫坐標,p=|MN|.

  所以M(,0),N(,0).

  由|AM|=,|AN|=3得

  (xA)2+2pxA=17,、

  (xA)2-2pxA=9, ②

  由①②兩式聯(lián)立解得xA,再將其代入①式并由p>0,解得

  因為△AMN是銳角三角形,所以>xA,

  故舍去

  所以p=4,xA=1.

  由點B在曲線段C上,得xB=|BN|=4.

  綜上,得曲線段C的方程為y2=8x(1≤x≤4,y>0).

  方法二:如圖,建立坐標系,分別以l1、l2為x、y軸,M為坐標原點.作AE⊥l1,AD⊥l2,BF⊥l2,垂足分別為E、D、F.

  設(shè)A(xA,yA)、B(xB,yB)、N(xN,0)

  依題意有xA=|ME|=|DA|=|AN|=3,

  yA=|DM|=

  由于△AMN為銳角三角形,故有

  xN=|ME|+|EN|=|ME|+=4,xB=|BF|=|BN|=6.

  設(shè)點P(x,y)是曲線段C上任一點,則由題意知P屬于集合{(x,y)|(x-xN)2+y2=x2,xA≤x≤xB,y>0}.

  故曲線段C的方程為y2=8(x-2)(3≤x≤6,y>0).


練習冊系列答案
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