Question

【題目】設(shè)數(shù)列的前項和為，若，則稱是“數(shù)列”.

（1）若是“數(shù)列”，且，，，，求的取值范圍；

（2）若是等差數(shù)列，首項為，公差為，且，判斷是否為“數(shù)列”；

（3）設(shè)數(shù)列是等比數(shù)列，公比為，若數(shù)列與都是“數(shù)列”，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）； （2）見解析； （3）.

【解析】

（1）根據(jù)數(shù)列的新定義，列出不等式組且，，即可求解；

（2）由等差數(shù)列，得到，進而得出，再由的單調(diào)性，得到，即可得到結(jié)論；

（3）設(shè)等比數(shù)列的公比為，分和時，結(jié)合數(shù)列的新定義，即可作差判定.

（1）由題意，數(shù)列滿足，稱是“數(shù)列”，

又由，，，，可得且，

解得，即的取值范圍是.

（2）由題意，數(shù)列的通項公式為，

則，

又由，可得數(shù)列隨著的增大而減小，

所以當(dāng)時，取得最大值，所以，

所以數(shù)列是“數(shù)列”.

（3）由題意得，等比數(shù)列的公比為，

由數(shù)列是“G的數(shù)列”，可得，即，

①當(dāng)時，所以，則，符合題意，

②當(dāng)時，則，則，

因為數(shù)列是“G的數(shù)列”，所以對恒成立，

（i）當(dāng)時，，

即對恒成立，

因為，

所以，

所以當(dāng)時，對恒成立；

（ii）當(dāng)時，，

即對恒成立，

因為，

所以，解得，

又，所以不存在滿足題意，

綜上可得，數(shù)列的公比的取值范圍是.