Question

5．實(shí)數(shù)x、y滿足約束條件$\left\{\begin{array}{l}x-y-2≤0\\ x+2y-5≥0\\ y-2≤0\end{array}\right.則z=\frac{y}{x+1}$的取值范圍為[$\frac{1}{4}，1$]．

Answer 1

分析 由約束條件作出可行域，再由$z=\frac{y}{x+1}$的幾何意義，即可行域內(nèi)的動點(diǎn)與定點(diǎn)P（-1，0）連線的斜率得答案．

解答 解：由約束條件作出可行域如圖，

聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{x-y-2=0}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$，解得A（3，1），
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{y=2}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$，解得B（1，2）．
$z=\frac{y}{x+1}$的幾何意義為可行域內(nèi)的動點(diǎn)與定點(diǎn)P（-1，0）連線的斜率．
∵${k}_{PA}=\frac{1}{4}，{k}_{PB}=1$，
∴$z=\frac{y}{x+1}$的取值范圍為[$\frac{1}{4}，1$]．
故答案為：[$\frac{1}{4}，1$]．

點(diǎn)評 本題考查簡單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合的解題思想方法和數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想方法，是中檔題．