【題目】在非負(fù)數(shù)構(gòu)成的數(shù)表中,每行的數(shù)互不相同,前六列中每列的三數(shù)之和為1,均大于1.如果的前三列構(gòu)成的數(shù)表滿足下面的性質(zhì):對(duì)于數(shù)表中的任意一列()均存在某個(gè)使得.①
求證:(1)最小值()一定去自數(shù)表的不同列;
(2)存在數(shù)表中唯一的一列()使得數(shù)表仍然具有性質(zhì)().
【答案】見解析
【解析】
(1)假設(shè)最小值()不是取自數(shù)表的不同列.則存在一列不含任何不妨設(shè)().由于數(shù)表中同一行中的任何兩個(gè)元素都不等,于是,().使得.矛盾.
(2)由抽屜原理知中至少有兩個(gè)值取在同一列.不妨設(shè).由(1)知數(shù)表的第一列一定含有某個(gè),則只能是.
同理,第二列中也必含某個(gè)().不妨設(shè).
于是,,即是數(shù)表中的對(duì)角線上數(shù)字:.
記.令集合.顯然,且.因?yàn)?/span>,所以,.故.于是,存在.使得.顯然,.下面證明:數(shù)表具有性質(zhì)().
從上面的選法可知().這說明.
又由滿足性質(zhì)(),在式①中取,推得.于是,.接下來證明:對(duì)任意的,存在某個(gè)()使得.
假若不然,則()且.這與的最大性矛盾.因此,數(shù)表滿足性質(zhì)().
再證唯一性.設(shè)有使得數(shù)表具有性質(zhì)().
不失一般性,可假定②
.由于及(1),有.又由(1)知,或者,③或者④如果式③成立,則⑤由數(shù)表滿足性質(zhì)(),則對(duì)于至少存在一個(gè),使得.
又由式②、⑤知.所以,只能有.同理,由數(shù)表滿足性質(zhì)()得.于是,,即數(shù)表.如果式④成立,則⑥由數(shù)表滿足性質(zhì)(),則對(duì)于,存在某個(gè)()使得.由及式②、⑥知.于是,只能有.同理,由滿足性質(zhì)()及得.從而.
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【題目】《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)文化的優(yōu)秀遺產(chǎn),數(shù)學(xué)家劉徽在注解《九章算術(shù)》時(shí),發(fā)現(xiàn)當(dāng)圓內(nèi)接正多邊行的邊數(shù)無限增加時(shí),多邊形的面積可無限逼近圓的面積,為此他創(chuàng)立了割圓術(shù),利用割圓術(shù),劉徽得到了圓周率精確到小數(shù)點(diǎn)后四位3.1416,后人稱3.14為徽率,如圖是利用劉徽的割圓術(shù)設(shè)計(jì)的程序框圖,若結(jié)束程序時(shí),則輸出的為( )(,,)
A. 6 B. 12 C. 24 D. 48
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A.在內(nèi)單調(diào)遞減
B.和之間存在“隔離直線”,且的最小值為
C.和之間存在“隔離直線”,且的取值范圍是
D.和之間存在唯一的“隔離直線”
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數(shù)字 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
形式 | Ⅰ | Ⅱ | Ⅲ | Ⅳ | Ⅴ | Ⅵ | Ⅶ | Ⅷ | Ⅸ |
其中“Ⅰ”需要1根火柴,“Ⅴ”與“X”需要2根火柴,若為0,則用空位表示. (如123表示為,405表示為)如果把6根火柴以適當(dāng)?shù)姆绞饺糠湃胂旅娴谋砀裰校敲纯梢员硎镜牟煌娜粩?shù)的個(gè)數(shù)為( )
A.87B.95C.100D.103
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【題目】關(guān)于下列命題:
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所有正確命題的序號(hào)是_____.
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