等比數(shù)列{an}中,a2>a3=1,則使不等式 (a1-
1
a1
)+(a2-
1
a2
)+(a3+
1
a3
)+…+(an-
1
an
)>0成立的最大自然數(shù)n是
 
考點(diǎn):等比數(shù)列的前n項(xiàng)和
專題:等差數(shù)列與等比數(shù)列
分析:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,由題意判斷出q<1,根據(jù)等比數(shù)列的求和公式表示出不等式的左邊,化簡后得關(guān)于n的不等式,由q的范圍求出n的范圍,再求出對(duì)應(yīng)的最大值.
解答: 解:設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,
由a2>a3=1得,a1q2=1,解得a1=
1
q2
,且q<1,
所以(a1-
1
a1
)+(a2-
1
a2
)+(a3+
1
a3
)+…+(an-
1
an

=
a1(1-qn)
1-q 
-
1
a1
(1-
1
qn
)
1-
1
q
=
1
q2
(1-qn)
1-q 
-
q2(1-
1
qn
)
1-
1
q

=
(1-qn)
1-q 
1
q2
-
1
qn-3
),
因?yàn)閝<1,所以
(1-qn)
1-q 
>0
,
因?yàn)椴坏仁剑?span id="0ombyx1" class="MathJye">a1-
1
a1
)+(a2-
1
a2
)+(a3+
1
a3
)+…+(an-
1
an
)>0,
所以
1
q2
-
1
qn-3
>0
,則
1
q2
1
qn-3
,即q2<qn-3,
所以n-3<2,解得n<5,則不等式成立的最大自然數(shù)n是4,
故答案為:4.
點(diǎn)評(píng):本題考查等比數(shù)列的求和公式,涉及利用指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)求解指數(shù)不等式,考查化簡計(jì)算能力,屬中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

把曲線ysinx-2y+3=0先沿x軸向左平移
π
2
個(gè)單位長度,再沿y軸向下平移1個(gè)單位長度,得到曲線方程是( 。
A、(1-y)cosx+2y-3=0
B、(1+y)sinx-2y+1=0
C、(1+y)cosx-2y+1=0
D、-(1+y)cosx+2y+1=0

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x)=x2-2mx+6在區(qū)間(-∞,-1]上為減函數(shù),則m的取值范圍是
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知向量
a
=(1,m+1),向量
b
=(m,2),且
a
b
,若(
a
-
b
)⊥
a

(Ⅰ)求實(shí)數(shù)m的值;
(Ⅱ) 求向量
a
、
b
的夾角θ的大。

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知定義域?yàn)椋?,+∞)的函數(shù)f(x)滿足:
①對(duì)?x∈(0,+∞),恒有f(2x)=2f(x);
②當(dāng)x∈(1,2]時(shí),f(x)=2-x.
(1)求f(16)的值;
(2)證明:對(duì)?m∈Z,有f(2m)=0;
(3)是否存在整數(shù)n,是的f(2n+1)=9?若存在,求出相應(yīng)的n的值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(1)求函數(shù)f(x)=(x+1)0+
4-x
x+2
的定義域,并用區(qū)間表示;
(2)求函數(shù)y=x2-2x-3,x∈(-1,4]的值域.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知函數(shù)f(x+3)=x2-2x+3,則f(x)=
 

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

定義在R上的奇函數(shù)f(x)為減函數(shù),若a+b≤0,給出下列不等式:
①f(a)•f(-a)≤0;
②f(a)+f(b)≤f(-a)+f(-b);
③f(b)•f(-b)≥0;
④f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b);
⑤f(a)+f(b)≤0;
⑥f(a)+f(b)≥0.
其中正確的是
 
(把你認(rèn)為正確的不等式的序號(hào)全寫上).

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

某廠2004年12月份產(chǎn)值計(jì)劃為當(dāng)年1月產(chǎn)值的n倍,則該廠2004年度產(chǎn)值的月平均增長率為(  )
A、
n
11
B、
11n
-1
C、
12n
-1
D、
11n

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