Question

（2012•武昌區(qū)模擬）（坐標(biāo)系與參數(shù)方程）在直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建極坐標(biāo)系，兩種坐標(biāo)系取相同的單位長(zhǎng)度．已知曲線C：psin²θ=2acosθ（a＞0），過點(diǎn)P（-2，-4）的直線l的參數(shù)方程為

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，直線l與曲線C分別交于M、N．若|PM|、|MN|、|PN|成等比數(shù)列，則實(shí)數(shù)a的值為

1

．

Answer 1

分析：把參數(shù)方程化為普通方程，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，聯(lián)立方程組利用根與系數(shù)的關(guān)系求出x₁+x₂=4+2a，x₁•x₂=4．再根據(jù)由|PM|、|MN|、|PN|成等比數(shù)列可得
 2(x1-x 2)2=

2

|x₁+2|•

2

|x₂+2|，由此求得實(shí)數(shù)a的值．

解答：解：曲線C：psin²θ=2acosθ（a＞0），即 ρ²sin²θ=2aρcosθ，即 y²=2ax． 直線l的參數(shù)方程

x=-2+ 2 2 t y=-4+ 2 2 t

，即 x-y-2=0．
設(shè)M（x₁，x₁-2），N（x₂，x₂-2），則由

y2=2ax x-y-2=0

可得 x²-（4+2a）x+4=0，∴x₁+x₂=4+2a，x₁•x₂=4．
由|PM|、|MN|、|PN|成等比數(shù)列，可得|MN|²=|PM||PN|．
∴2(x1-x 2)2=

(x1+2)2+(x2-2 +4)2

•

(x2+2)2+(x2-2 +4)2

，化簡(jiǎn)可得  2(x1-x 2)2=

2

|x₁+2|•

2

|x₂+2|．
即 (x1+x 2)2-4x₁•x₂=|x₁•x₂+2（x₁+x₂）+4|，∴（4+2a）²-16=|4+2（4+2a）+4|，
解得 a=1，
故答案為 1．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查把參數(shù)方程化為普通方程的方法，把極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程的方法，直線和拋物線的位置關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．