Question

7．設S_n為數列{a_n}的前n項和，a₁=1，S_n=2S_n-1+n-2（n≥2），則a₂₀₁₇等于（　�。�

• A． 2²⁰¹⁶-1
• B． 2²⁰¹⁶+1
• C． 2²⁰¹⁷-1
• D． 2²⁰¹⁷+1

Answer 1

分析 推導出a_n=S_n-S_n-1=S_n-1+n-2，n≥2，從而a_n+1=S_n+n-1，進而a_n+1+1=2（a_n+1），由此得到{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數列，從而能求出結果．

解答 解：∵S_n為數列{a_n}的前n項和，a₁=1，S_n=2S_n-1+n-2（n≥2），
∴a_n=S_n-S_n-1=S_n-1+n-2，n≥2，①
∴a_n+1=S_n+n-1，②
②-①，得：a_n+1-a_n=a_n+1，
∴a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴$\frac{{a}_{n+1}+1}{{a}_{n}+1}=2$，又a₁+1=2，
∴{a_n+1}是首項為2，公比為2的等比數列，
∴${a}_{n}+1={2}^{n}$，∴${a}_{n}={2}^{n}-1$，
∴${a}_{2017}={2}^{2017}-1$．
故選：C．

點評 本題考查數列的第2017項的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意數列的遞推公式、等比數列的性質的合理運用．