Question

橢圓+=1（a＞b＞0）的長(zhǎng)軸為短軸的倍，直線y=x與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，C為橢圓的右頂點(diǎn)，•=．
（1）求橢圓的方程；
（2）若橢圓上兩點(diǎn)E、F使+=λ，λ∈（0，2），求△OEF面積的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據(jù)題意可知a=b，C（a，0），設(shè)A（t，t），把A點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程求得t，進(jìn)而表示出和進(jìn)而根據(jù)，•=求得a和b，橢圓方程可得．
（2）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），EF中點(diǎn)為M（x，y），根據(jù)+=λ的方程組，把E，F(xiàn)點(diǎn)坐標(biāo)代入橢圓方程，兩式相減可得+y₁²-y₂²=0，進(jìn)而可得直線EF的斜率，根據(jù)點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線EF的方程，代入橢圓方程消去x，進(jìn)而根據(jù)韋達(dá)定理求出
y₁+y₂和y₁y₂進(jìn)而表示出|EF|，同時(shí)表示出原點(diǎn)到直線EF的距離，進(jìn)而根據(jù)三角形面積公式，表示出三角形OEF的面積，根據(jù)λ的范圍求得△OEF面積的最大值．
解答：解：（1）根據(jù)題意，a=b，C（a，0），
設(shè)A（t，t），則t＞0，+=1．
解得t²==b²，即t=b，
∴=（b，b），=（a，0），•=ab=b²=，
∴b=1，a=，
∴橢圓方程為+y²=1．
（2）設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂），EF中點(diǎn)為M（x，y），
∵+=λ，
∴
∵E、F在橢圓上，則
由①-②得+y₁²-y₂²=0，
∴k_EF==-×=-，
∴直線EF的方程為y-λ=-（x-λ），
即x=-3y+λ，代入+y²=1，
整理得4y²-2λy+λ²-1=0，
∴y₁+y₂=λ，y₁y₂=，
∴|EF|==|y₁-y₂|
=•=•，
又∵原點(diǎn)O（0，0）到直線EF的距離為h=，
∴S_△OEF=|EF|h==≤×=，
當(dāng)λ=時(shí)等號(hào)成立，所以△OEF面積的最大值為．
點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和橢圓與直線的關(guān)系．是高考中常考的題型，應(yīng)注意總結(jié)規(guī)律．