【題目】已知等差數(shù)列的首項(xiàng)為p，公差為，對于不同的自然數(shù)，直線與軸和指數(shù)函數(shù)的圖象分別交于點(diǎn)與（如圖所示），記的坐標(biāo)為，直角梯形、的面積分別為和，一般地記直角梯形的面積為.

（1）求證：數(shù)列是公比絕對值小于1的等比數(shù)列；

（2）設(shè)的公差，是否存在這樣的正整數(shù)，構(gòu)成以，，為邊長的三角形？并請說明理由；

（3）設(shè)的公差為已知常數(shù)，是否存在這樣的實(shí)數(shù)p使得（1）中無窮等比數(shù)列各項(xiàng)的和？并請說明理由.

【答案】（1）證明見解析（2）不存在，詳見解析（3）存在，證明見解析

【解析】

（1），直角梯形的兩底長度，.高為，利用梯形面積公式表示出.利用等比數(shù)列定義進(jìn)行證明即可；

（2），，以，，為邊長能構(gòu)成一個三角形，則考查不等式解的情況作解答；

（3）利用無窮等比數(shù)列求和公式，將化簡為，則，探討p的存在性.

解：（1），，

，

對于任意自然數(shù)n，，

所以數(shù)列是等比數(shù)列且公比，

因?yàn)?/span>，所以；

（2），，

對每個正整數(shù)，，

若以，，為邊長能構(gòu)成一個三角形，

則，即，

即有，這是不可能的.

所以對每一個正整數(shù)，以，，為邊長不能構(gòu)成三角形；

（3）由（1）知，，，

所以，

若，則

兩邊取對數(shù)，知只要取值為小于的實(shí)數(shù)，

就有.

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】關(guān)于函數(shù)有下述四個結(jié)論：①若，則；②的圖象關(guān)于點(diǎn)對稱；③函數(shù)在上單調(diào)遞增；④的圖象向右平移個單位長度后所得圖象關(guān)于軸對稱.其中所有正確結(jié)論的編號是（ ）

A.①②④B.①②C.③④D.②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】定義在上的函數(shù)，如果對任意，恒有成立，則稱為階縮放函數(shù)．

（1）已知函數(shù)為二階縮放函數(shù)，且當(dāng)時，，求的值；

（2）已知函數(shù)為二階縮放函數(shù)，且當(dāng)時，，求證：函數(shù)在上無零點(diǎn)；

（3）已知函數(shù)為階縮放函數(shù)，且當(dāng)時， 的取值范圍是，求在上的取值范圍．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】設(shè)集合，.

(1)若，求實(shí)數(shù)的值;

(2)若，求實(shí)數(shù)的范圍.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論的單調(diào)性；

（2）若函數(shù)有三個極值點(diǎn)，，，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，曲線由兩個橢圓：和橢圓：組成，當(dāng)成等比數(shù)列時，稱曲線為“貓眼曲線”.

（1）若貓眼曲線過點(diǎn)，且的公比為，求貓眼曲線的方程；

（2）對于題（1）中的求貓眼曲線，任作斜率為且不過原點(diǎn)的直線與該曲線相交，交橢圓所得弦的中點(diǎn)為M，交橢圓所得弦的中點(diǎn)為N，求證：為與無關(guān)的定值；

（3）若斜率為的直線為橢圓的切線，且交橢圓于點(diǎn)，為橢圓上的任意一點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)不重合），求面積的最大值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖,在三棱錐中,底面,,.D,E分別為,的中點(diǎn),過的平面與,相交于點(diǎn)M,N(M與P,B不重合,N與P,C不重合).

(1)求證:;

(2)求直線與平面所成角的大小;

(3)若直線與直線所成角的余弦值時,求的長.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】若是一個集合，是一個以的某些子集為元素的集合，且滿足：（1）屬于，屬于；（2）中任意多個元素的并集屬于；（3）中任意多個元素的交集屬于，則稱是集合上的一個拓補(bǔ).已知集合，對于下面給出的四個集合：

①②

③④

其中是集合上的拓補(bǔ)的集合的序號是______.（寫出所有的拓補(bǔ)的集合的序號）

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某市在開展創(chuàng)建“全國文明城市”活動中，工作有序扎實(shí)，成效顯著，尤其是城市環(huán)境衛(wèi)生大為改觀，深得市民好評.“創(chuàng)文”過程中，某網(wǎng)站推出了關(guān)于環(huán)境治理和保護(hù)問題情況的問卷調(diào)查，現(xiàn)從參與問卷調(diào)查的人群中隨機(jī)選出200人，并將這200人按年齡分組：第1組，第2組，第3組，第4組，第5組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）求出a的值；

（2）若已從年齡較小的第1，2組中用分層抽樣的方法抽取5人，現(xiàn)要再從這5人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行問卷調(diào)查，設(shè)第2組抽到人，求隨機(jī)變量的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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