Question

為了進(jìn)一步激發(fā)同學(xué)們的學(xué)習(xí)熱情，某班級(jí)建立了理科．文科兩個(gè)學(xué)習(xí)興趣小組，兩組的人數(shù)如下表所示．現(xiàn)采用分層抽樣的方法（層內(nèi)采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣）從兩組中共抽取3名同學(xué)進(jìn)行測(cè)試．

組別 性別	理科	文科
男	5	1
女	3	3

（1）求從理科組抽取的同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率；
（2）記ξ為抽取的3名同學(xué)中男同學(xué)的人數(shù)，求隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,古典概型及其概率計(jì)算公式,離散型隨機(jī)變量及其分布列

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（1）兩小組的總?cè)藬?shù)之比為8：4=2：1，共抽取3人，所以理科組抽取2人，文科組抽取1人，從理科組抽取的同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的情況有：一男一女、兩女，由此能求出從理科組抽取的同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的概率．
（2）由題意可知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量ξ的分布列和數(shù)學(xué)期望．

解答： 解：（1）兩小組的總?cè)藬?shù)之比為8：4=2：1，
共抽取3人，所以理科組抽取2人，
文科組抽取1人，…（2分）
從理科組抽取的同學(xué)中至少有1名女同學(xué)的情況有：一男一女、兩女，
所以所求的概率為：P=

C 1 3 C 1 5 + C 2 3

C 2 8

=

9

14

．…（4分）
（2）由題意可知ξ的所有可能取值為0，1，2，3，…（5分）
相應(yīng)的概率分別是：
P(ξ=0)=

C 0 5 C 2 3

C 2 8

C 1 3

C 1 4

=

9

112

，
P(ξ=1)=

C 1 3 C 1 5

C 2 8

C 1 3

C 1 4

+

C 2 3

C 2 8

1

C 1 4

=

48

112

，
P(ξ=2)=

C 1 3 C 1 5

C 2 8

1

C 1 4

+

C 2 5

C 2 8

C 1 3

C 1 4

=

45

112

，
P(ξ=3)=

C 2 5

C 2 8

1

C 1 4

=

10

112

，…（9分）
所以ξ的分布列為：

ξ	0	1	2	3
P	9 112	48 112	45 112	10 112

Eξ=1×

48

112

+2×

45

112

+3×

10

112

=

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意排列組合知識(shí)的合理運(yùn)用．