已知頂點(diǎn)為原點(diǎn)的拋物線
的焦點(diǎn)
與橢圓
的右焦點(diǎn)重合,
與
在第一和第四象限的交點(diǎn)分別為
.
(1)若是邊長(zhǎng)為
的正三角形,求拋物線
的方程;
(2)若,求橢圓
的離心率
.
(1)拋物線的方程為
;(2)橢圓
的離心率
.
解析試題分析:(1)先根據(jù)拋物線及橢圓的幾何性質(zhì)得到點(diǎn)關(guān)于
軸對(duì)稱,進(jìn)而由
求得
點(diǎn)的坐標(biāo)
,接著代入拋物線的方程可求得
的值,從而可確定拋物線
的方程;(2)先根據(jù)
確定
的橫坐標(biāo)為
,進(jìn)而代入橢圓的方程可確定
點(diǎn)的坐標(biāo)
,再將該點(diǎn)的坐標(biāo)代入拋物線
,從中可得關(guān)系式
,另一方面
,從而得到
,即
,只須求解關(guān)于
的方程即可得到
內(nèi)的解.
試題解析:(1)設(shè)橢圓的右焦點(diǎn)為,依題意得拋物線的方程為
∵是邊長(zhǎng)為
的正三角形,∴點(diǎn)
的坐標(biāo)是
代入拋物線的方程解得
,故所求拋物線
的方程為
(2)∵,∴點(diǎn)
的橫坐標(biāo)是
代入橢圓方程解得
,即點(diǎn)
的坐標(biāo)是
∵點(diǎn)在拋物線
上,∴
即
將代入上式整理得:
即,解得
∵,故所求橢圓
的離心率
.
考點(diǎn):1.橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì);2.拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其幾何性質(zhì).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
在平面直角坐標(biāo)系xOy中,已知點(diǎn)A(0,-1),B點(diǎn)在直線y = -3上,M點(diǎn)滿足,
,M點(diǎn)的軌跡為曲線C。
(1)求C的方程;
(2)P為C上的動(dòng)點(diǎn),l為C在P點(diǎn)處得切線,求O點(diǎn)到l距離的最小值。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
如圖,已知,
,
,
分別是橢圓
的四個(gè)頂點(diǎn),△
是一個(gè)邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,其外接圓為圓
.
(1)求橢圓及圓
的方程;
(2)若點(diǎn)是圓
劣弧
上一動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)
異于端點(diǎn)
,
),直線
分別交線段
,橢圓
于點(diǎn)
,
,直線
與
交于點(diǎn)
.
(。┣的最大值;
(ⅱ)試問:..,
兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之和是否為定值?若是,求出該定值;若不是,說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的離心率
,且直線
是拋物線
的一條切線.
(1)求橢圓的方程;
(2)點(diǎn)P 為橢圓上一點(diǎn),直線
,判斷l(xiāng)與橢圓的位置關(guān)系并給出理由;
(3)過橢圓上一點(diǎn)P作橢圓的切線交直線于點(diǎn)A,試判斷線段AP為直徑的圓是否恒過定點(diǎn),若是,求出定點(diǎn)坐標(biāo);若不是,請(qǐng)說明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知點(diǎn),圓C:
與橢圓E:
有一個(gè)公共點(diǎn)
,
分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),直線
與圓C相切.
(1)求m的值與橢圓E的方程;
(2)設(shè)Q為橢圓E上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),求的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓的右焦點(diǎn)為
,短軸的端點(diǎn)分別為
,且
.
(1)求橢圓的方程;
(2)過點(diǎn)且斜率為
的直線
交橢圓于
兩點(diǎn),弦
的垂直平分線與
軸相交于點(diǎn)
.設(shè)弦
的中點(diǎn)為
,試求
的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
設(shè)橢圓C1:的右焦點(diǎn)為F,P為橢圓上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn).
(1)求線段PF的中點(diǎn)M的軌跡C2的方程;
(2)過點(diǎn)F的直線l與橢圓C1相交于點(diǎn)A、D,與曲線C2順次相交于點(diǎn)B、C,當(dāng)時(shí),求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知橢圓,直線
與
相交于
、
兩點(diǎn),
與
軸、
軸分別相交于
、
兩點(diǎn),
為坐標(biāo)原點(diǎn).
(1)若直線的方程為
,求
外接圓的方程;
(2)判斷是否存在直線,使得
、
是線段
的兩個(gè)三等分點(diǎn),若存在,求出直線
的方程;若不存在,說明理由.
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