Question

已知動點M到A（0，1）的距離比它到x軸的距離多一個單位．
（Ⅰ）求動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）過點N（2，1）作曲線C的切線l，求切線l的方程，并求出l與曲線C及y軸所圍成圖形的面積S．

Answer 1

考點：軌跡方程,利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：（Ⅰ）直接由題意得到動點M的軌跡為拋物線，由拋物線定義求動點M的軌跡C的方程；
（Ⅱ）利用導數(shù)求出曲線C的切線l的方程，然后用定積分求l與曲線C及y軸所圍成圖形的面積．

解答： 解：（Ⅰ）設動點M的坐標為（x，y），
依題意得：動點M到點A的距離與它到直線y=-1的距離相等，
由拋物線定義知：M的軌跡C是以A為焦點，直線y=-1為準線的拋物線，
其方程為：x²=4y；
（Ⅱ）∵曲線C的方程可寫成：y=

1

4

x2，
注意到點N（2，1）在曲線C上，過點N的切線l斜率為y′|_x=2=

1

2

x|x=2=1，
故所求的切線l的方程為：y-1=x-2，即y=x-1．
由定積分的幾何意義，所求的圖形的面積
S

=∫

2 0

(

1

4

x2-x+1)dx=(

1

12

x3-

1

2

x2+x)

|

2 0

=

2

3

．

點評：本題考查了拋物線的定義及標準方程，考查了利用定積分求曲邊梯形的面積，是中檔題．