Question

（2011•藍山縣模擬）設函數f(x)=cosx-cos(x-

π

3

)，x∈R．
（1）求f（x）的最大值，并求取得最大值時x的取值集合；
（2）記△ABC的內角A、B、C的對邊分別為a，b，c，若f（B）=0，b=1，c=

3

，求a的值．

Answer 1

分析：（1）把f（x）的解析式的第二項利用兩角和與差的余弦函數公式及特殊角的三角函數值化簡，整理后再利用二倍角的余弦函數公式化為一個角的余弦函數，由x為任意實數，可得余弦函數的值域為[-1，1]，進而確定出f（x）的最大值，并根據余弦函數的圖象與性質得到此時x的取值集合；
（2）把x=B，f（B）=0代入第一問化簡得到的解析式中，根據B為三角形的內角，利用特殊角的三角函數值求出B的度數，再由b與c，以及cosB的值，利用余弦定理即可求出a的值．

解答：解：（1）f(x)=cosx-(cosxcos

π

3

+sinxsin

π

3

)
=

1

2

cosx-

3

2

sinx=cos(x+

π

3

)，…（3分）
∵x∈R，∴-1≤cos（x+

π

3

）≤1，
則f（x）_max=1，…（4分）
此時x的取值集合為{x|x+

π

3

=2kπ，k∈Z}，即{x|x=2kπ-

π

3

，k∈Z}；…（6分）
（2）∵f（B）=cos(B+

π

3

)=0，且B為三角形的內角，
∴B=

π

6

，…（8分）
又b=1，c=

3

，
∴由余弦定理b²=a²+c²-2accosB得：
12=a2+(

3

)2-2

3

acos

π

6

，…（10分）
即a²-3a+2=0，
解得：a=1或a=2．…（12分）．

點評：此題考查了余弦定理，兩角和與差的余弦函數公式，余弦函數的定義域與值域，以及特殊角的三角函數值，熟練掌握定理及公式是解本題的關鍵．