Question

已知橢圓點(diǎn)，離心率為，左右焦點(diǎn)分別為

（1）求橢圓的方程；

（2）若直線與橢圓交于兩點(diǎn)，與以為直徑的圓交于兩點(diǎn)，且滿足，求直線的方程.

 

Answer 1

（1）＋＝1（2）y＝－x＋或y＝－x－.

【解析】

試題分析：（1）由題意可得=，=，結(jié)合，解出即可即可得到橢圓方程．

（2）由題意可得以F1F2為直徑的圓的方程為x2+y2=1．利用點(diǎn)到直線的距離公式可得：圓心到直線的距離d及d＜1，可得m的取值范圍．利用弦長公式可得|CD|=2．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）．把直線l的方程與橢圓的方程聯(lián)立消去化為關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)是對應(yīng)方程的兩根，所根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，將與用表示出來，利用弦長|AB|=將弦長|AB|用m表示出來，列出關(guān)于m的方程，解出m，求得出直線的方程.

試題解析： (1)由題設(shè)知，解得

∴橢圓的方程為＋＝1.

(2)由題設(shè)，以F1F2為直徑的圓的方程為x2＋y2＝1，

∴圓心(0，0)到直線l的距離d＝.

由d<1，得|m|<，(*)

∴|CD|＝2＝2＝.

設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，

由，得x2－mx＋m2－3＝0，

由根與系數(shù)的關(guān)系得x1＋x2＝m，x1x2＝m2－3，

∴|AB|＝＝.

由＝，得＝1，

解得m＝±，滿足(*)．

∴直線l的方程為y＝－x＋或y＝－x－.

考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系，運(yùn)算求解能力