20．已知球O的表面積為25π，長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上，則這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積的最大值等于50．

分析 求出球半徑，設(shè)出長(zhǎng)方體的三度，求出長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)就是確定直徑，推出長(zhǎng)方體的表面積的表達(dá)式，然后求出最大值．

解答 解：∵球O的表面積為25π=4πR2，
∴球O的半徑R=2.5，
設(shè)長(zhǎng)方體的三度為：a，b，c，球的直徑就是長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)，
由題意可知a2+b2+c2=52=25，長(zhǎng)方體的表面積為：2ab+2ac+2bc≤2a2+2b2+2c2=50；
當(dāng)a=b=c時(shí)取得最大值，也就是長(zhǎng)方體為正方體時(shí)表面積最大．
故答案為：50．

點(diǎn)評(píng) 本題考查長(zhǎng)方體的外接球的知識(shí)，長(zhǎng)方體的表面積的最大值的求法，基本不等式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力；注意利用基本不等式求最值時(shí)，正、定、等的條件的應(yīng)用．

練習(xí)冊(cè)系列答案
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12．雙曲線${x^2}-\frac{y^2}{m}=1$的離心率大于$\sqrt{2}$的必要不充分條件是（　　）
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10．已知橢圓$C：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}={1^{\;}}（{a＞b＞0}）$的離心率$e=\frac{{\sqrt{2}}}{2}$，點(diǎn)P在橢圓上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)∠F1PF2=60°，${S_{△{F_1}P{F_2}}}=\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$；
（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）過(guò)原點(diǎn)直線l與橢圓交于A，B，斜率為k1，直線OP斜率為k2，${k_1}•{k_2}=-\frac{1}{2}$，判斷△APB的面積是否為定值，若為定值，則求出這個(gè)定值，若不為定值，則說(shuō)明理由．

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