20.已知球O的表面積為25π,長(zhǎng)方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在球O的球面上,則這個(gè)長(zhǎng)方體的表面積的最大值等于50.

分析 求出球半徑,設(shè)出長(zhǎng)方體的三度,求出長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng)就是確定直徑,推出長(zhǎng)方體的表面積的表達(dá)式,然后求出最大值.

解答 解:∵球O的表面積為25π=4πR2
∴球O的半徑R=2.5,
設(shè)長(zhǎng)方體的三度為:a,b,c,球的直徑就是長(zhǎng)方體的對(duì)角線的長(zhǎng),
由題意可知a2+b2+c2=52=25,長(zhǎng)方體的表面積為:2ab+2ac+2bc≤2a2+2b2+2c2=50;
當(dāng)a=b=c時(shí)取得最大值,也就是長(zhǎng)方體為正方體時(shí)表面積最大.
故答案為:50.

點(diǎn)評(píng) 本題考查長(zhǎng)方體的外接球的知識(shí),長(zhǎng)方體的表面積的最大值的求法,基本不等式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力;注意利用基本不等式求最值時(shí),正、定、等的條件的應(yīng)用.

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