Question

已知，且x∈（0，2π），記f（x）在（0，2π）內(nèi)零點(diǎn)為x．
（1）求當(dāng)f（x）取得極大值時(shí)，與的夾角θ．
（2）求f（x）＞0的解集．
（3）求當(dāng)函數(shù)取得最小值時(shí)f（x）的值，并指出向量與的位置關(guān)系．

Answer 1

【答案】分析：（1）由題設(shè)知f（x）=sinx-xcosx，x∈（0，2π），故f′（x）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx，由此能求出當(dāng)f（x）取得極大值時(shí)，與的夾角θ．
（2）由x=π是f（x）在（0，2π）內(nèi)的極大值點(diǎn)，知f（0）=0，f（π）=π，f（2π）=-2π．由此能求出f（x）＞0的解集．
（3）構(gòu)造函數(shù)，則=，由此能求出當(dāng)函數(shù)取得最小值時(shí)f（x）的值和此時(shí)向量與的位置關(guān)系．
解答：（本題滿分14分）
解：（1）∵，且x∈（0，2π），
∴f（x）=sinx-xcosx，x∈（0，2π），
∴f′（x）=cosx-（cosx-xsinx）=xsinx，
由f′（x）=0，x∈（0，2π），得x=π，
∴x∈（0，π），f'（x）＞0，則f（x）單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈（π，2π），f'（x）＜0，則f（x）單調(diào)遞減．
∴x=π是f（x）在（0，2π）內(nèi)的極大值點(diǎn)．…（4分）
此時(shí)=（sinπ，π）=（0，π），=（1，-cosπ）=（1，1）
∴cosθ===，
∵0≤θ≤π，∴．…（6分）
（2）由（1）知x=π是f（x）在（0，2π）內(nèi)的極大值點(diǎn)．
且f（0）=0，f（π）=π，f（2π）=-2π．
∴x∈（0，π）時(shí)，f（x）＞0，且f（π）•f（2π）＜0，
得x∈（π，2π），
∴x∈（0，x）時(shí)，f（x）＞0，即f（x）＞0的解集為（0，x）．…（9分）
（3）令，
∵=，
∴h′（x）=0，得x=x，
∴x∈（0，x），f（x）＞0，得h′（x）＜0，則h（x）單調(diào)遞減，
當(dāng)x∈（x，2π），f（x）＜0，得h′（x）＞0，則h（x）單調(diào)遞增，
∴x=x是h（x）在（0，2π）內(nèi)的極小值，且h（x）為唯一極值，即為最小值，
此時(shí)f（x）=f（x）=0，即，
∴．
點(diǎn)評(píng)：本題考查向量夾角的大小的求法，考查不等式的解法，考查最小值的求法和向量位置關(guān)系的判斷，綜合性強(qiáng)，難度大，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意構(gòu)造法的合理運(yùn)用．