Question

如圖，四棱錐P-ABCD，側面PAD⊥底面ABCD，ABCD是直角梯形，△PAD為正三角形，DA⊥AB，CB⊥AB，AB=AD=1，BC=2，E為BC的中點，M為側棱PB上一點．
（Ⅰ）求直線PC與平面PAD所成的角；
（Ⅱ）是否存在點M使直線BD⊥平面MAE？若存在，求出

PM

MB

的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：直線與平面所成的角,棱錐的結構特征

專題：計算題,存在型,空間位置關系與距離,空間角

分析：（Ⅰ）過點C作CF⊥AD于F，連接PF，由面面垂直的性質定理得到，∠CPF是直線PC與平面PAD所成的角．再在直角三角形PCF，求出∠CPF；
（Ⅱ）假設存在點M，使直線BD⊥平面MAE．由于AE⊥BD，只需BD⊥OM，在△PBD中，由余弦定理求出cos∠PBD，再通過直角三角形BOM，求出BM，PM即可．

解答： 解：（Ⅰ）過點C作CF⊥AD于F，連接PF，
∵側面PAD⊥底面ABCD，側面PAD∩底面ABCD=AD，
∴CF⊥側面PAD，
于是∠CPF是直線PC與平面PAD所成的角．
由條件得，CF=1，
在三角形PDF中，∵PD=DF=1，∠PDF=120°，
∴PF=

3

，
在直角△PFC中，tan∠CPF=

CF

FP

=

3

3

，
∴∠CPF=30°，
即直線PC與平面PAD所成的角為30°．
（Ⅱ）假設存在點M使直線BD⊥平面MAE．
要使BD⊥平面MAE，∵ABED為正方形，∴AE⊥BD，∴只需BD⊥OM，
在△PBD中，PD=1，PB=BD=

2

，
cos∠PBD=

2+2-1

2× 2 × 2

=

3

4

，
∴BM=

OB

cos∠PBD

=

2 2

3 4

=

2 2

3

，PM=PB-BM=

2

3

，
故存在點M使直線BD⊥平面MAE，且

PM

MB

=

1

2

．

點評：本題考查空間中直線與平面的位置關系，以及空間角的大小，考查面面垂直的性質定理，以及線面垂直的判定和性質，以及直線與平面所成的角，屬于中檔題．