【答案】
分析:(1)首先根據(jù)已知條件a
1=1,a
2=3,2S
n-(n+1)a
n=An+B,取n=1和n=2,代入 得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213209173961975/SYS201310232132091739619018_DA/0.png)
,即可求得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213209173961975/SYS201310232132091739619018_DA/1.png)
(2)首先將(1)求得的結果代入得2S
n-(n+1)a
n=-n+1(n∈N
*),則有2S
n+1-(n+2)a
n+1=-n,兩式相差即可得na
n+1-(n+1)a
n=1,兩邊同除以n(n+1),可得出
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213209173961975/SYS201310232132091739619018_DA/2.png)
,進而得出通項公式為a
n=2n-1(n∈N
*).
(3)首先將(2)得出的公式代入8a
n+1-a
n2<k,可得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213209173961975/SYS201310232132091739619018_DA/3.png)
,進而得出k的最小值為32.
解答:解:(1)∵a
1=1,a
2=3,2S
n-(n+1)a
n=An+B(n∈N
*),
分別取n=1和n=2,得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213209173961975/SYS201310232132091739619018_DA/4.png)
,
即
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213209173961975/SYS201310232132091739619018_DA/5.png)
,解得
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213209173961975/SYS201310232132091739619018_DA/6.png)
.(4分)
(2)由(1)知,2S
n-(n+1)a
n=-n+1(n∈N
*),
∴2S
n+1-(n+2)a
n+1=-n.,得2a
n+1-(n+2)a
n+1+(n+1)a
n=-1,即na
n+1-(n+1)a
n=1.
兩邊同除以n(n+1),可化為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213209173961975/SYS201310232132091739619018_DA/7.png)
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213209173961975/SYS201310232132091739619018_DA/8.png)
.
數(shù)列
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213209173961975/SYS201310232132091739619018_DA/9.png)
是以
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213209173961975/SYS201310232132091739619018_DA/10.png)
為首項,公差為零的等差數(shù)列,于是
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213209173961975/SYS201310232132091739619018_DA/11.png)
.
∴數(shù)列{a
n}的通項公式為a
n=2n-1(n∈N
*).(10分)
(3)由(2)知,a
n=2n-1(n∈N
*).又8a
n+1-a
n2<k,
即8(2n+1)-(2n-1)
2<k,進一步可化為
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213209173961975/SYS201310232132091739619018_DA/12.png)
.
當n=2或3時,-4
![](http://thumb.zyjl.cn/pic6/res/gzsx/web/STSource/20131023213209173961975/SYS201310232132091739619018_DA/13.png)
的最大值為31,
因此,只要k>31即滿足要求,又k是正整數(shù),
故所求k的最小值為32.(16分)
點評:此題主要利用數(shù)列的遞推公式進行相關的應用及計算,屬于中檔題.