Question

已知拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（1，0），O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B是拋物線C上異于O的兩點(diǎn)．
（Ⅰ）求拋物線C的方程；
（Ⅱ）若直線OA，OB的斜率之積為-

1

2

，求證：直線AB過x軸上一定點(diǎn)．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用拋物線C：y²=2px（p＞0）的焦點(diǎn)F（1，0），可得拋物線C的方程；
（Ⅱ）分類討論，設(shè)出直線的方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，結(jié)合斜率公式，可求直線方程，即可得出結(jié)論．

解答：（Ⅰ）解：因?yàn)閽佄锞�y²=2px的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0），所以

p

2

=1，p=2．
得到拋物線方程為y²=4x．----------------------------------（4分）
（Ⅱ）證明：①當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，設(shè)A(

t2

4

，t)，B(

t2

4

，-t)
因?yàn)橹本�OA，OB的斜率之積為-

1

2

，所以

t

t2 4

-t

t2 4

=-

1

2

，化簡得t²=32．
所以（8，t），B（8，-t），此時(shí)直線AB的方程為x=8．----------------（7分）
②當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為y=kx+b，A（x_A，y_A），B（x_B，y_B）
聯(lián)立方程

y2=4x y=kx+b

，化簡得ky²-4y+4b=0．------------------（9分）
根據(jù)韋達(dá)定理得到yAyB=

4b

k

，
因?yàn)橹本�OA，OB的斜率之積為-

1

2

，所以得到

yA

xA

yB

xB

=-

1

2

，即x_Ax_B+2y_Ay_B=0．--------------------（11分）
得到

yA2

4

yB2

4

+2yAyB=0，
化簡得到y(tǒng)_Ay_B=0（舍）或y_Ay_B=-32．--------------------（12分）
又因?yàn)?span id="hlh5vnj" class="MathJye">yAyB=

4b

k

=-32，b=-8k，
所以y=kx-8k，即y=k（x-8）．
綜上所述，直線AB過定點(diǎn)（8，0）．-------------------------（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查拋物線的方程，考查直線與拋物線的位置關(guān)系，考查分類討論的數(shù)學(xué)思想，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．